4. Миттьовий центр прискорень

М

Рис.11

иттьовим центром прискорень називається точка, прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Положення Q миттьового центра прискорень визначається тоді, коли відомі прискорення якої-небудь точки А тіла і кутові швидкість ω та прискорення ε тіла (рис.11).

Тоді знаходимо величину кута α за формулою:

Від точки А під кутом α до вектора проводимо пряму АЕ (рис.11), причому кут відкладаємо в бік обертання, якщо воно прискорене, і в протилежний бік, якщо воно сповільнене. Уздовж лінії АЕ помічаємо відрізок АQ, довжину якого знаходимо так:

AQ= .

Визначена таким чином точка Q і буде миттьовим центром прискорень. Справді:

a_QA= = =a_A..

Оскільки вектор повинен утворювати з лінією AQ кут α, то вектор паралельний , але напрямлений у протилежний бік, тобто = – , а тому = + = 0.

Якщо точку Q взяти за полюс, то прискорення будь-якої точки М буде:

= + = і а_М=QM .

Отже, прискорення будь-якої якої точки тіла дорівнює її прискоренню в обертальному русі навколо миттьового центра прискорень Q. При цьому:

тобто прискорення точок тіла пропорційні їх відстаням від миттьового центра прискорень.

Зазначимо, що положення центрів швидкостей і прискорень у даний момент часу не збігаються.

Задача. Визначити швидкість повзуна В і кутову швидкість шатуна АВ при горизонтальному положенні кривошипа ОА, який обертається навколо осі О з кутовою швидкістю ω₀=1,5рад/с, якщо ОА=0,2м, АВ=1м.

Рис.12

Розв'язання. Знайдемо положення миттьового центра швидкостей шатуна, який у даному випадку знаходиться на перетині перпендикулярів до векторів швидкостей і точок А і В. Напрямки і відомі: напрямлений перпендикулярно до кривошипа ОА, тобто вертикально вгору, – паралельно напрямній х-х. Таким чином, миттьовий центр вказаних швидкостей знаходиться в точці С. Тепер можемо записати:

Але модуль швидкості точки А легко обчислюється із співвідношення:

v_A=ω₀ ОА=1,5·0,2=0,3 м/с.

Із рисунка бачимо, що довжина АС:

АС = =0,6 (м).

Кутова швидкість шатуна ω_ав визначиться із формули:

ω_АВ= рад/с.

Тепер обчислимо швидкість повзуна В:

v_В=0,5·0,8=0,4 м/с.

Питання для самоконтролю

1. Який рух називається плоскопаралельним? Приклади плоскопаралельного руху.

2. Якими рівняннями описується плоскопаралельний рух? Їх тлумачення.

3. Як визначаються швидкості точок тіла у його плоскопаралельному русі? Довести.

4. Як визначаються прискорення точок тіла у його плоскопаралельному русі? Довести.

5. Яка точка називається миттьовим центром швидкостей плоскої фігури?

6. Як визначається положення миттьового центра швидкостей, якщо напрямки векторів швидкостей двох точок тіла відомі? У випадку, якщо вони паралельні?

7. Сформулювати та довести теорему про проекції швидкостей двох точок тіла у його плоскопаралельному русі.

8. Що називається миттьовим центром прискорень плоскої фігури? Як він визначається?

Лекція № 14 Тема: “Складний рух точки” План

1. Абсолютний, відносний і переносний рухи.

2. Теорема про додавання швидкостей.

3. Теорема про додавання прискорень (теорема Коріоліса).

1. Абсолютний, відносний і переносний рухи

До цього часу ми розглядали рух тіла відносно однієї системи відліку. Але в механіці часто доводиться досліджувати рух точки або тіла відносно двох систем відліку. При цьому одна з них вважається умовно нерухомою, а друга рухається якимось чином по відношенню до першої. Такий рух точки або тіла називається складним.

Наприклад, людина, яка пересувається рухомими сходами ескалатора здійснює складний рух по відношенню до стін тунелю, який складається з руху людини відносно сходів (рухома система відліку) і руху її разом зі сходами відносно стін тунелю (нерухома система відліку). Практична цінність теорії складного руху полягає в можливості розкласти його, ввівши додаткову рухому систему відліку, на більш прості, що широко використовується в кінематичних розрахунках.

Р

Рис.1

озглянемо складний рух точки М, що переміщається відносно рухомої системи відліку Охуz, яка в свою чергу рухається відносно іншої системи відліку O₁x₁y₁z₁, обраної нами за нерухому (рис.1).

1. Рух точки М відносно рухомої системи координат Oxyz називається відносним. У цьому випадку ми умовно зупиняємо рухому систему відліку. Траєкторія АВ, яку описує точка М у відносному русі, називається відносною траєкторією. Швидкість руху при цьому називається відносною швидкістю і позначається , прискорення – відносним прискоренням і позначається .

2. Рух рухомої системи відліку Oxyz разом з точкою М відносно нерухомої системи O₁x₁y₁z₁ називається для точки М переносним. Швидкість тієї незмінно зв’язаної з рухомими осями Oxyz точки, з якого в даний момент часу збігається точка М, називається переносною швидкістю точки М у цей момент часу і позначається , а прискорення цієї точки – переносним прискоренням точки М і позначається .

3.Рух точки в рухомій системі координат по відношенню до нерухомої системи O₁x₁y₁z₁ називаються абсолютним або складним. Траєкторія CD цього руху називається абсолютною траєкторією, швидкість – абсолютною швидкістю і позначається , прискорення – абсолютним прискоренням і позначається .

Звернемося до наведеного раніше прикладу. Очевидно, рух людини відносно сходів ескалатора буде відносним, рух сходів з людиною по відношенню до стін тунелю буде для людини переносним і рух людини по сходах ескалатора відносно стін тунелю буде абсолютним.