2. Розв’язання другої задачі динаміки при прямолінійному русі точки

Рух матеріальної точки буде прямолінійним, якщо сила (або рівнодійна прикладених сил), яка діє на неї, буде сталою за напрямком, а швидкість точки в початковий момент часу дорівнює нулю або напрямлена вздовж лінії дії сили.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно. На точку вздовж траєкторії її руху діє сила , яка залежить від часу, положення точки і її швидкості. Розглянемо розв’язання другої задачі динаміки в цьому випадку.

Напрямимо координатну вісь (позначимо її через х) вздовж лінії руху (траєкторії) точки. Деяку точку О, розміщену на лінії руху точки, візьмемо за початок відліку координати х матеріальної точки. Зобразимо матеріальну точку в деякому проміжному (довільному) положенні так, щоб координата точки і напрямок її руху були додатними (рис.1). Прикладемо до точки силу , і напрямимо її в бік до датного напрямку координатної осі, при цьому F=F(t, x, x').

Задамо такі початкові умови руху матеріальної точки:

при .

Складемо диференціальне рівняння руху точки. У проекції на координатну вісь Ox воно запишеться у вигляді:

Інтегруючи це рівняння, дістанемо х як функцію часу t і двох довільних сталих С₁ та С₂, тобто знайдемо загальне рівняння у вигляді:

Наявність у правій частині рівняння довільних сталих інтегрування вказує на те, що під дією даної сили точка може здійснювати не якийсь певний рух, а цілий комплекс рухів. Фізично це означає, що точка, на яку починає діяти сила , буде рухатись по різному в залежності від її початкового положення і початкової швидкості.

Сталі інтегрування визначаються за початковими умовами. Для цього обчислюємо похідну за часом від загального розв’язку:

Підставивши початкові умови в рівняння для визначення x і x', дістанемо два алгебраїчних рівняння:

розв’язуючи які й знайдемо сталі інтегрування.

Накінець, підставивши отримані значення сталих інтегрування в загальний розв’язок, дістанемо рівняння:

яке виражає закон руху матеріальної точки в даному випадку.

У загальному випадку для сили дістати розв’язок диференціального рівняння руху точки в кінцевому вигляді неможливо. Але має місце досить широкий спектр задач динаміки прямолінійного руху точки, для якого розв'язок диференціального рівняння знаходиться в кінцевому вигляді й досить просто. Це, зокрема, коли сила, що діє на точку:

1) стала величина ;

2) залежить тільки від часу ;

3) залежить тільки від координати точки ;

4) залежить тільки від швидкості точки .

Розглянемо тільки перший випадок, коли сила є величиною сталою

Оскільки і , то . У цьому випадку диференціальне рівняння руху матеріальної точки запишеться у вигляді:

Розв’язання цього рівняння розглядалось в кінематиці (див. лекцію №11). У результаті з урахуванням початкових умов дістали рівняння:

яке виражає закон руху точки в цьому випадку. Цей закон називається законом рівнозмінного прямолінійного руху.

3. Розв’язання другої задачі динаміки при криволінійному русі точки

У випадку криволінійного руху точки друга задача динаміки розв’язується за допомогою диференціальних рівнянь, які ми розглянули на попередній лекції. Якщо задача розв’язується в прямокутних декартових координатах, то початкові умови задаються у вигляді:

при .

Конкретний хід задачі розглянемо на прикладі руху тіла, кинутого під кутом до горизонтальної площини в однорідному полі тяжіння (рис.2). Вивчимо рух тіла, кинутого з початковою швидкістю , напрямленою під кутом α до горизонтальної площини, розглядаючи його як точку масою m. При цьому опором повітря нехтуємо.

Рис.2

Розмістимо початок координат О в початковому положенні точки. Кут між і віссю Ох буде α.

Зобразимо точку М у довільному положенні. На неї діє тільки сила ваги, проекції якої на координатні осі дорівнюють:

Підставляючи ці значення в диференціальні рівняння руху точки, маємо:

Помноживши обидві частини рівнянь на dt і проінтегрувавши їх, маємо:

Початкові умови в нашій задачі мають вигляд:

при t₀=0: x=0, y=0, z=0, v_x=v₀ cos α, v_y=v₀ sin α, v_z=0.

Задовольняючи початкові умови, маємо:

C₁=v₀cosα, C₂=v₀sinα, C₃=0.

Підставляючи ці значення в рівняння і виражаючи v_x, v_y та v_z через , та , дійдемо рівнянь:

=0.

Інтегруючи їх, дістанемо:

Підставлення початкових умов дає С₄=С₅=С₆=0, і в кінцевому вигляді маємо:

z=0.

Із цього виходить, що рух відбувається в площині Oxy. Маючи ці рівняння, можна методами кінематики визначити всі характеристики цього руху: траєкторію точки, горизонтальну дальність польоту, висоту траєкторії, час польоту.

Питання для самоконтролю

1. У чому полягає друга задача динаміки, і в якій послідовності вона розв’язується?

2. Алгоритм розв’язання другої задачі динаміки при прямолінійному русі матеріальної точки.

3. Розв’язання другої задачі динаміки, якщо сила, що діє на точку, є величиною сталою.

4. Алгоритм розв’язання другої задачі динаміки при криволінійному русі точки.

Лекція №28

Тема: “Невільний і відносний рухи точки. Прямолінійні коливання точки ”

План

1. Невільний рух матеріальної точки.

2. Відносний рух матеріальної точки.

3. Вільні коливання точки.

4. Вимушені коливання. Явище резонансу.

1. Невільний рух матеріальної точки

Якщо точка невільна, тобто якщо на неї накладені в’язі, які обмежують рух точки, то при розв’язанні задач динаміки користуються принципом звільнення.

Подумки відкидають в'язі, заміняють їх дію на точку реакціями цих в’язей і розглядають точку як вільну, яка здійснює рух під дією прикладених до неї активних сил та реакцій в’язей.

Тоді диференціальні рівняння руху матеріальної точки запишуться у вигляді:

а) у векторній формі:

де – рівнодійна активних сил, – рівнодійна сил реакцій;

б) у координатній формі:

де F_x, F_y, F_z – алгебраїчні суми проекцій всіх активних сил на координатні осі х, у, z; R_x, R_y, R_z – алгебраїчні суми проекцій всіх сил реакцій на відповідні координатні осі;

в) у натуральній формі:

де F_τ, F_n – алгебраїчні суми проекцій всіх активних сил на дотичну вісь та головну нормаль; R_τ, R_n – алгебраїчні суми проекцій всіх сил реакцій на відповідні осі.

Якщо точка невільна, то перша задача динаміки зводиться до того, щоб, знаючи закон руху точки і активні сили, що діють на неї, визначити реакції накладених на точку в’язей. Друга задача динаміки при невільному русі розкладається на дві й полягає у тому, щоб, знаючи активні сили, що діють на точку, визначити: а) закон руху точки; б) реакцію накладеної в'язі.