3. Деякі поодинокі випадки руху точки

Розглянемо деякі поодинокі випадки руху матеріальної точки.

1. Прямолінійний рух. Якщо траєкторією точки є пряма лінія, то ρ=∞, тоді , і повне прискорення точки дорівнює одному тільки дотичному прискоренню:

.

Оскільки в цьому випадку швидкість змінюється тільки чисельно, то звідси робимо висновок, що дотичне прискорення характеризує зміну числового значення швидкості.

2. Рівномірний криволінійний рух. Рівномірним називається такий криволінійний рух точки, в якому числове значення швидкості весь час залишається сталим (v=const). Тоді , і повне прискорення дорівнює одному тільки нормальному прискоренню:

Вектор прискорення напрямлений при цьому весь час по нормалі до траєкторії точки.

Оскільки в цьому випадку прискорення з'являється тільки за рахунок зміни напрямку швидкості, то звідси робимо висновок, що нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком.

Знайдемо закон рівномірного криволінійного руху. Із формули маємо: ds=vdt. Нехай у початковий момент часу (t₀=0) точка знаходиться від початку відліку на відстані s₀. Тоді:

Або враховуючи, що v=const, дістанемо:

s-s₀=vt,

звідси маємо:

s=s₀+vt.

Якщо s₀=0, то s дасть шлях, пройдений точкою за час t . Отже, при рівномірному русі шлях, пройдений точкою, зростає пропорційно часу, а швидкість точки дорівнює відношенню шляху до часу:

.

3. Рівномірний прямолінійний рух. У цьому випадку a_n=a_τ=0, а отже, a=0. Це єдиний рух, в якому прискорення точки весь час дорівнює нулю.

4. Рівнозмінний криволінійний рух. Рівнозмінним називається такий криволінійний рух точки, в якому дотичне прискорення залишається весь час сталим: a_τ= const. Знайдемо закон цього руху, якщо відомо, що в початковий момент часу t₀=0: s=s₀, а v=v₀ (s₀ та v₀ – початкові відстань та швидкість).

Оскільки dv=a_τdt, а a_τ=const, то беручи інтеграли з обох частин у відповідних границях, маємо:

v=v₀+a_τt

або

,

звідки:

ds=v₀dt+ a_τtdt.

Якщо ще раз проінтегруємо останню рівність, знайдемо закон рівнозмінного криволінійного руху точки:

Ці формули виражають також закон рівнозмінного прямолінійного руху точки, якщо вважати s=x. При цьому в рівняннях a_τ=а, де а – числове значення прискорення даної точки.

5. Гармонійні коливання. Гармонійні коливання точки відбуваються за законом

x=Acos kt,

де А, k – сталі величини.

Величина А, яка дорівнює найбільшому відхиленню точки від центра коливань, називається амплітудою коливань.

Проміжок часу Т=2π/k, за який точка здійснює одно повне коливання, називається періодом коливань.

Беручи похідні від х за часом, знайдемо швидкість і прискорення точки:

v= –Aksin kt; a= –Ak²cos kt.

Питання для самоконтролю

1. Як визначається величина та напрямок швидкості точки при координатному способі задання її руху?

2. Як визначається прискорення точки при координатному способі задання її руху?

3. Як визначається швидкість при натуральному способі задання руху точки?

4. Як визначається прискорення точки при натуральному способі задання її руху?

5. Якими формулами описуються прямолінійний, рівномірний криволінійний, рівномірний прямолінійний та рівнозмінний криволінійний рухи?