3. Вектор швидкості точки

Рис.6

Однією з важливих кінематичних характеристик руху точки є її швидкість, яка є мірою руху точки і характеризує бистроту зміни її положення з плином часу. Швидкість – величина векторна.

Нехай деяка точка, яка здійснює рух по криволінійній траєкторії АВ, в момент часу t займає на траєкторії положення М, що визначається радіусом-вектором , а в момент t₁ – положення М₁, яке визначається радіусом-вектором (рис. 6).

Тоді за проміжок часу переміщення точки визначається вектором , який називається вектором переміщення точки. Із ΔОММ₁ бачимо, що

.

Звідси:

.

Відношення вектора переміщення точки до проміжку часу Δt назвемо середньою за модулем і напрямком швидкістю точки за цей проміжок часу Δt, тобто:

.

Середня швидкість напрямлена вздовж хорди ММ₁ у бік руху точки.

Очевидно, чим меншим буде проміжок часу Δt, тим точніше буде середня швидкість характеризувати рух точки. Якщо проміжок часу Δt прямує до нуля, то граничне значення швидкості наближається до значення швидкості в даний момент часу:

.

Таким чином, швидкістю точки в даний момент часу називається векторна величина , до якої прямує швидкість з наближенням проміжку часу до нуля. А оскільки граничне значення відношення при t0 є не що інше, як перша похідна від вектора по аргументу t, то маємо:

.

Отже, вектор швидкості в даний момент часу дорівнює першій похідній від радіуса-вектора точки за часом.

Оскільки граничним напрямком січної ММ₁ є дотична, то вектор швидкості в даний момент часу напрямний по дотичній, яка проведена до траєкторії точки в бік її руху.

Якщо точка рухається прямолінійно, то вектор її швидкості весь час напрямлений вздовж траєкторії точки (прямої), змінюється лише чисельно. Якщо траєкторія руху – крива, то вектор швидкості може змінюватись як за величиною, так і за напрямком. Рух, в якому швидкість з часом зростає, називається прискореним; рух, в якому швидкість з часом зменшується, називається сповільненим.

4. Вектор прискорення точки

Величина, яка характеризує бистроту зміни швидкості точки з плином часу (як за модулем, так і за напрямком), називається прискоренням точки.

П

Рис.7

рискорення – величина векторна.

Нехай точка, яка рухається по криволінійній траєкторії, в момент часу t займає на траєкторії положення М і має швидкість , а в момент t₁ – положення М₁ і швидкість (рис.7). Визначимо приріст швидкості за проміжок часу . Для цього вектор перенесемо в точку М. Сполучивши кінці векторів та , отримаємо . Зауважимо, що вектор завжди напрямлений у бік угнутості траєкторії.

Відношення приросту вектора швидкості до проміжку часу ∆t визначає вектор середнього прискорення точки за цей проміжок часу:

.

Напрямок вектора , як видно, збігається з напрямком .

Прискоренням точки в даний момент часу називається векторна величина , до якої прямує середнє прискорення з наближенням проміжку часу Δt до нуля:

або .

Отже, вектор прискорення точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від вектора швидкості або другій похідній від радіуса-вектора точки за часом.

Визначимо напрямок вектора по відношенню до траєкторії руху точки. Якщо точка рухається прямолінійно, то вектор прискорення напрямлений вздовж прямої, по якій вона рухається, що очевидно. Якщо траєкторією руху є плоска крива, то вектор прискорення , як і , лежить у площині цієї кривої і напрямлений у бік її угнутості. У загальному ж випадку вектор лежить у стичній площині й напрямлений у бік угнутості кривої.