2. Відносний рух матеріальної точки

Другий закон динаміки і рівняння, які ми дістали на його основі, справедливі тільки для абсолютного руху точки, тобто руху по відношенню до інерціальної („нерухомої”) системи відліку.

Тепер звернемось до відносного руху точки, тобто руху по відношенню до неінерціальних, які як завгодно рухаються по відношенню до інерціальних, систем відліку.

Розглянемо матеріальну точку М, що рухається під дією прикладених до неї сил , ,..., , які є результатом взаємодії точки з іншими матеріальними тілами. Будемо вивчати рух цієї точки в системі Oxyz (рис.1), які в свою чергу за відомим нам законом рухаються відносно інерціальної системи відліку (нерухомих осей) .

Необхідно знайти залежність між відносним прискоренням точки і силами, які діють на неї. Для абсолютного руху точки основний закон динаміки має вигляд:

Рис.1

З кінематики відомо, що , де – відносне, переносне і коріолісове прискорення точки. Підставляючи значення в рівняння і вважаючи далі (оскільки ця величина вивчається нами), дістанемо:

Введемо позначення:

Величини мають розмірність сили. Назвемо їх переносною і коріолісовою силами інерції. Тоді попереднє рівняння набуде вигляду:

Це рівняння виражає основний закон динаміки для відносного руху точки.

Звідси висновок: всі рівняння і теореми механіки для відносного руху точки складаються так само, як рівняння для абсолютного руху, якщо при цьому до сил, що діють на точку, додати переносну і коріолісову сили інерції.

Деякі часткові випадки:

1. Якщо рухомі осі рухаються поступально, то (ω=0, де ω – кутова швидкість обертання рухомих осей Oxyz), і закон відносного руху буде мати вигляд:

2. Якщо рухомі осі переміщаються поступально, рівномірно і прямолінійно, то , і закон відносного руху буде таким же, як і закон по відношенню до нерухомих осей. Отже, така система відліку буде також інерціальною.

3. Якщо точка по відношенню до рухомих осей знаходиться в спокої, то для неї , тому ( ). Тоді маємо:

Це рівняння є рівнянням відносної рівноваги (спокою) точки. Із нього виходить, що рівняння рівноваги складаються так само, як рівняння рівноваги в нерухомих осях, якщо при цьому до діючих на точку сил взаємодії з іншими тілами додати переносну силу інерції.

3. Вільні коливання точки

Вивчення механічних коливань є важливим тому, що вони дуже часто зустрічаються в техніці.

Розглянемо точку M, яка рухається прямолінійно під дією однієї тільки поновлюючої сили , напрямленої до нерухомого центра O і пропорційної відстані від його центра. Проекція сили на вісь Ox буде (рис.2):

Сила намагається повернути точку в положення рівноваги О, де F=0, тому і назва „поновлююча” сила. Прикладом такої сили є сила пружності.

Знайдемо закон руху точки M. Складемо диференціальне рівняння руху в проекції на вісь х, дістанемо:

або

Розділивши обидві частини рівняння на m і ввівши позначення

д

Рис.2

ійдемо результату:

Це рівняння є диференціальним рівнянням вільних коливань при відсутності опору.

Розв'язок цього лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку шукають у вигляді: . Покладаючи в рівнянні , для визначення n дістанемо характеристичне рівняння . Як відомо з теорії диференціальних рівнянь, загальний розв'язок цього рівняння має вигляд:

де С₁ і С₂ – сталі інтегрування.

Якщо замість сталих С₁ і С₂ ввести сталі А і α, такі, що , , то дістанемо:

x=A(sin kt cos α+cos kt sin α)

або

Це другий вигляд розв’язання диференціального рівняння, де сталі інтегрування А і α. Ним зручніше користуватись для загальних досліджень.

Швидкість точки в цьому русі:

Коливання, здійснювані за цим законом, називаються гармонійними коливаннями точки.

Всім характеристикам цього руху можна дати наочну кінематичну інтерпретацію.

Розглянемо точку В, яка рухається рівномірно по колу радіуса А із положення В₀, яке визначається кутом (рис.3). Нехай стала кутова швидкість обертання радіуса дорівнює k. Тоді в довільний момент часу t кут , і легко бачити, що проекція M точки B на діаметр, перпендикулярний DE рухається за законом x=Asin (kt+α), де x=OM, тобто здійснює гармонійні коливання.

В

Рис.3

еличина A, яка дорівнює найбільшому відхиленню точки M від центра О, називається амплітудою коливань. Величина φ=kt+α називається фазою коливань. Фаза φ на відміну від координати x визначає не тільки положення точки в даний момент часу, а й напрямок її подальшого руху; наприклад, із положення M при фазі φ точка рухається вправо, а при фазі (π–φ) – вліво. Фази, які відрізняються на 2π, вважаються однаковими. Величина α визначає фазу початку коливань (початкова фаза).

Величина k, яка збігається з кутовою швидкістю обертання радіуса OB, називається круговою частотою коливань.

Проміжок часу T (або τ), за який точка здійснює одне повне коливання, називається періодом коливань. По проходженні періоду фаза змінюється на 2π. Отже, повинно бути kТ=2π, звідки період:

Величина , обернена періоду, яка визначає кількість коливань за 1с, називається частотою коливань:

Величина k відрізняється від на сталий множник 2π. Далі ми будемо частотою коливань називати величину k.

Визначимо сталі інтегрування А і α за початковими умовами: вважаємо, при t₀=0: x=x₀, v_x=v₀, тоді . Звідси склавши почленно квадрати цих рівнянь, а потім розділивши їх почленно одне на інше, знайдемо:

Вплив сталої сили на вільні коливання точки. Нехай на точку М, крім поновлюючої сили , напрямленої до центра О (чисельно F=c OM), діє стала за модулем сила (рис.4).

Рис.4

У цьому випадку положенням рівноваги точки М, де сила зрівноважиться з силою , буде точка О₁, яка розміщена на відстані OO₁=λ_cт від точки О. Ця відстань визначається рівністю сλ_cт=Р або

Величину λ_cт назвемо статичним відхиленням.

Отже, стала сила не змінює характер коливань, лише зміщає центр коливань у бік дії сили на величину статичного відхилення λ_cт.

Виразимо період коливань через λ_cт. Оскільки , тоді: