4. Теорема про зміну кінетичної енергії системи

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки справедлива для будь-якої точки системи. Отже, якщо розглянути довільну точку системи масою m_k, яка має швидкість v_k, то:

де і – елементарні роботи зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точку. Або для всіх точок системи:

або

Ця рівність виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи в диференціальній формі.

Проінтегрувавши обидві частини рівності в границях, які відповідають переміщенню системи із початкового положення, де кінетична енергія дорівнювала T₀, у положення, де значення кінетичної енергії дорівнює T₁, дістанемо:

Ця рівність виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії системи на деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до системи.

Внутрішні сили тут залишаються. Так, нехай і – сили взаємодії між точками В₁ і В₂, тоді (рис. 4). Але при цьому точка В₁ може переміщатись у напрямку до В₂, а В₂ – у напрямку до В₁. Тоді робота кожної сили буде додатна, і сума їх робіт не дорівнюватиме нулю.

Т

Рис.4

ільки у випадку незмінної системи будемо мати, що сума робіт всіх внутрішніх сил дорівнює нулю, тоді:

або

Незмінними системами називають такі, у яких відстань між кожними двома її точками за весь час руху залишається сталою.

Питання для самоконтролю

1. Дати означення елементарній роботі. Формула визначення та її аналіз.

2. Як визначається робота на кінцевому переміщенні точки?

3. Що таке потужність? За якою формулою вона визначається? Одиниці її вимірювання.

4. Що називається кінетичною енергією точки? Одиниці її вимірювання.

5. Сформулювати і довести теорему про зміну кінетичної енергії точки.

6. Як визначається кінетична енергія поступального, обертального і плоскопаралельного рухів тіла?

7. Сформулювати і довести теорему про зміну кінетичної енергії системи.

Лекція №32 Тема: “Теорема про рух центра мас. Застосування загальних теорем динаміки до руху твердого тіла” План

1. Диференціальні рівняння руху системи.

2. Теорема про рух центра мас системи. Закон збереження руху центра мас.

3. Диференціальні рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі.

4. Диференціальні рівняння плоскопаралельного руху твердого тіла.

1. Диференціальні рівняння руху системи

Для k-ої матеріальної точки системи масою m_k, яка має прискорення , маємо:

Аналогічний результат будемо мати для будь-якої точки системи, отже:

де і – рівнодійні всіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на точку.

Ці рівняння є диференціальними рівняннями руху системи у векторній формі ( ). Сили в загальному випадку можуть залежати від часу, координат точок системи і їх швидкостей.

Якщо спроектувати ці рівності на які-небудь координатні осі, дістанемо диференціальні рівняння руху системи в проекціях на координатні осі.

Повний розв'язок другої задачі динаміки для системи полягає в тому, щоб, знаючи задані сили і накладені в'язі, проінтегрувати відповідні диференціальні рівняння і визначити в результаті закон руху кожної із точок системи та реакції в'язі. Але досить часто не виникає необхідності в знаходженні закону руху кожної точки, а достатньо знайти характеристики, які визначають рух системи в цілому. У цьому випадку частіше застосовуються загальні теореми динаміки.