Питання для самоконтролю

1. Що вивчає розділ “Динаміка”?

2. Сформулювати три закони динаміки (Ньютона).

3. Вивести диференціальні рівняння руху матеріальної точки у трьох формах : векторній, координатній та натуральній.

4. Сформулювати дві задачі динаміки.

5. Яка послідовність розв’язання першої задачі динаміки?

6. Розв’язання першої задачі динаміки при координатному способі задання руху точки.

7. Розв’язання першої задачі динаміки при натуральному способі задання руху точки.

Лекція №27 Тема: “Розв’язання другої задачі динаміки точки” План

1. Загальна методика розв’язання другої задачі динаміки точки.

2. Розв’язання другої задачі динаміки при прямолінійному русі точки.

3. Розв’язання другої задачі динаміки при криволінійному русі точки.

1. Загальна методика розв’язання другої задачі динаміки точки

Нагадаємо, що друга задача динаміки точки полягає в тому, щоб, знаючи силу, яка діє на точку, знайти кінематичний закон її руху. Розв’язання цієї задачі зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки при заданих початкових умовах і виконується в такій послідовності:

1) складання диференціальних рівнянь руху точки, виходячи із умови задачі;

2) знаходження загальних розв’язків складених рівнянь;

3) визначення значень сталих інтегрування за заданими початковими умовами руху точки;

4) отримання кінематичних рівнянь, які виражають закон руху точки, шляхом підставлення сталих інтегрування в загальні розв’язки.

У попередній лекції показано, як на основі другого закону динаміки складаються диференціальні рівняння руху точки. При цьому в залежності від способу задання руху точки рівняння можуть бути складені в трьох формах – векторній, координатній і натуральній.

При складанні диференціальних рівнянь руху матеріальної точки в координатній формі слід обрати систему координат Oxyz (початок її, як правило, суміщають з початковим положенням точки), зобразити на рисунку точку в довільному положенні так, щоб її координати і проекції швидкості були додатними Далі необхідно зобразити силу (сили), які діють на точку в даний момент часу. Після цього скласти диференціальні рівняння руху точки в проекціях на осі обраної системи координат. При цьому змінні сили повинні бути подані в рівняннях в явному вигляді як функції відповідних аргументів.

Нагадаємо, що диференціальні рівняння руху точки, на яку діє сила, що залежить від часу, положення точки і її швидкості, мають вигляд:

де

Отже, отримання кінематичних рівнянь x=x(t), y=y(t), z=z(t), які виражають закон руху точки, зводиться до інтегрування цих диференціальних рівнянь. Щоб задача динаміки була визначеною, необхідно крім сили, що діє на точку, задати початкові умови руху точки. Це значить для деякого моменту часу t=t₀ задати значення функцій і їх похідних. Початкові умови записуються у вигляді:

Відзначимо, що початкові умови руху матеріальної точки містяться в самій постановці задачі динаміки і мають певний механічний зміст. Введенням початкової швидкості враховується вплив всіх раніше діючих на точку сил та подальший її рух.