5. Теорема про зміну моменту кількості руху точки (теорема моментів)

У деяких задачах замість кількості руху розглядають її момент відносно деякого центра або осі.

Ці моменти визначаються так само, як і моменти сили.

Таким чином, моментом кількості руху точки відносно деякого центра О називається векторна величина , яка визначається рівністю:

де – радіус-вектор точки, проведений із центра О.

Момент напрямлений перпендикулярно площині, яка проходить через і центр О, а (рис.2).

М

Рис.2

омент кількості руху точки відносно якої-небудь осі Oz, яка проходить через центр О, буде дорівнювати проекції вектора на цю вісь:

де γ – кут між вектором і віссю Oz.

Теорема моментів встановлює, як змінюється з часом . Щоб її довести, продиференціюємо за часом вираз дістанемо:

Але , як векторний добуток двох паралельних векторів, а , або при дії декількох сил , тоді:

або

Отже, ми довели теорему моментів відносно центра: похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого відносно якого-небудь нерухомого центра, дорівнює моменту сили, що діє на точку, відносно того ж центра.

Якщо спроектувати обидві частини останнього рівняння на яку-небудь вісь Oz, яка проходить через центр О, то дістанемо:

Це рівняння виражає теорему моментів відносно осі.

Якщо , то , тобто якщо момент сили відносно деякого центра дорівнює нулю, то момент кількості руху точки відносно цього центра є величиною сталою.

6. Головний момент кількості руху системи

Головним моментом кількості руху (або кінетичним моментом) системи відносно даного центра О називається величина , яка дорівнює геометричній сумі моментів кількості руху всіх точок системи відносно цього центра:

Аналогічно визначаються моменти кількості руху системи відносно координатних осей:

При цьому K_x, K_y i K_z ‑ проекції вектора на координатні осі.

Головний момент кількості руху (кінетичний момент) системи може розглядатися як характеристика її обертального руху.

Якщо тіло обертається навколо осі з кутовою швидкістю ω, то швидкість точки, розміщеної на відстані h_k від осі обертання, дорівнює , тоді для неї або

Величина в дужках є не що інше, як момент інерції тіла відносно осі z. Остаточно:

Таким чином, кінетичний момент тіла, яке обертається, відносно осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно цієї осі на кутову швидкість тіла.

Ця формула справедлива і для повороту тіла навколо миттьової осі обертання з кутовою швидкістю ω, отже:

7. Теорема про зміну головного моменту кількості руху системи(теорема моментів)

Теорема моментів, доведена для однієї матеріальної точки, справедлива для кожної точки системи.

Якщо розглянути точку системи масою m_k, яка має швидкість , то будемо мати:

де і – рівнодійні всіх зовнішніх i внутрішніх сил.

Для всіх точок системи:

Остання сума за властивостями внутрішніх сил дорівнює нулю. Тоді:

Ця рівність виражає теорему моментів системи: похідна за часом від головного моменту кількості руху системи відносно деякого нерухомого центра дорівнює сумі моментів всіх зовнішніх сил системи відносно цього ж центра.

Проектуючи обидві частини рівності на нерухомі осі Oxyz, дістанемо:

Розглянуті вище теореми мають важливе значення. У кінематиці було показано, що рух твердого тіла в загальному випадку складається із поступального руху разом з полюсом і обертального навколо нього. Якщо за полюс взяти центр мас, то поступальна частина руху тіла може бути вивчена за допомогою теореми про зміну кількості руху (про рух центра мас), а обертальна – за допомогою теореми моментів.