Лекція № 12 Тема: “Поступальний і обертальний рухи твердого тіла” План

1. Поступальний рух твердого тіла.

2.Обертальний рух твердого тіла. Кутові швидкість та прискорення.

3. Швидкості й прискорення точок тіла, яке обертається навколо осі.

1. Поступальний рух твердого тіла

У кінематиці всі тверді тіла будемо розглядати як абсолютно тверді, тобто такі, в яких відстані між двома будь-якими точками тіла залишаються сталими за весь час руху.

Завдання кінематики твердого тіла розкладається на дві частини:

1) задання руху і вивчення кінематичних характеристик руху всього тіла в цілому;

2

Рис.1

) вивчення руху кожної точки тіла окремо.

Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в цьому тілі, рухається паралельно сама собі.

Поступальний рух не слід плутати з прямолінійним. На відміну від останнього, де траєкторією руху є пряма, в поступальному русі траєкторіями точки тіла можуть бути будь-які криві. Прикладом поступального руху є рух шатуна АВ у чотириланковому механізмі О₁АВО₂ (рис.1), який складається з двох кривошипів О₁А та О₂В однакової довжини і шатуна АВ, довжина якого дорівнює відстані О₁О₂. Очевидно, що в усіх положеннях механізму чотирикутник О₁АВО₂ залишається паралелограмом. Отже, шатун АВ весь час паралельний прямій О₁О₂, і його рух є поступальним.

Теорема про траєкторії, швидкості й прискорення в поступальному русі. У поступальному русі всі точки тіла описують однакові (такі, що при накладанні збігаються) траєкторії і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямком швидкості та прискорення.

Д

Рис.2

оведення. Розглянемо тіло, яке здійснює поступальний рух відносно обраної системи відліку Охуz. Візьмемо в ньому довільні точки А і В, положення яких у момент часу t визначається відповідними радіусами-векторами і (рис.2). Провівши вектор , помічаємо, що

Оскільки відстань між точками твердого тіла – величина стала, то довжина АВ залишається однаковою в усіх його положеннях, напрямок не змінюється, тому що тіло рухається поступально. Таким чином, вектор за весь час руху залишається сталим.

Отже, при поступальному русі тіла радіуси-вектори двох його довільних точок, змінюючись, будуть відрізнятися один від одного на сталий вектор. Тому траєкторії точок А і В будуть однаковими, вони збігаються одна з одною при паралельному їх перенесенні.

Продиференціюємо отримане рівняння за часом, маємо :

.

Похідна від сталого вектора дорівнює нулю. Похідні від векторів та за часом дають швидкості відповідних точок. Тому

,

тобто швидкості двох точок тіла А і В у будь-який момент часу при поступальному русі однакові як за модулем, так і за напрямком. Тепер продиференціюємо отриману рівність за часом, дістанемо:

або ,

тобто прискорення точок А і В тіла у будь-який момент часу його руху також однакові за модулем і напрямком. Теорема доведена.

З теореми випливає, що поступальний рух цілком визначається рухом якої-небудь його точки. Тому завдання вивчення поступального руху зводиться до завдань кінематики точки, які розглянуті вище.

При поступальному русі спільну для всіх точок тіла швидкість називають швидкістю поступального руху тіла, а прискорення – прискоренням поступального руху тіла. Вектори і можуть бути зображені прикладеними в будь-якій точці тіла.

Зауважимо, що говорити про швидкість і прискорення тіла можна тільки у випадку його поступального руху, в інших випадках точки тіла мають різні швидкості й прискорення.