2. Розкладання сил на збіжні складові

Розкласти дану силу на декілька складових – означає знайти таку систему декількох сил, для якої дана сила є рівнодійною. Це завдання невизначене і має однозначний розв’язок лише при заданні додаткових умов.

Розглянемо два окремих випадки, які зустрічаються найчастіше.

1

Рис.4

. Розкладання сили по двох відомих напрямках. Це завдання зводиться до побудови такого паралелограма, у якого сила, що розкладається, є діагоналлю, а сторони паралельні заданим напрямкам.

Нехай сила розкладається по напрямках АВ і АD на сили і – складові сили (сила і прямі AB i AD звісно лежать в одній площині) (рис.4).

2. Розкладання сили по трьох напрямках. Якщо задані напрями не лежать в одній площині, то завдання є визначеним і зводиться до побудови такого паралелепіпеда, у якого діагональ зображає задану силу , а ребра паралельні заданим напрямкам (див. рис. 2).

Способом розкладання сил користуються для визначення сил тиску на в’язі.

З

Рис.5

адача. Нехай вантаж вагою підвішений на двох тросах АС і ВС, які утворюють з горизонтальною прямою однакові кути α. Обчислити, з якою силою натягнені троси (рис.5).

Розв’язання. Прикладемо силу у точці С і розкладемо її по напрямах тросів. Паралелограм у цьому випадку буде ромбом, діагоналі якого перпендикулярні між собою і поділяються в точці перетину пополам. Із трикутника аСb маємо:

,

звідки

.

3. Проекція сили на вісь і площину. Аналітичний спосіб задання і додавання сил

Аналітичний спосіб розв’язання задач ґрунтується на використанні методу проекцій, знайомого нам із векторної алгебри. Оскільки він особливо важливий для механіки, нагадаємо його основи.

Проекція сили (як і будь-якого іншого вектора) на вісь – це алгебраїчна величина, що дорівнює добутку сили на косинус кута між силою і додатним напрямом осі. Якщо цей кут гострий, то проекція додатна, якщо тупий – від’ємна, а якщо сила перпендикулярна осі, то її проекція на вісь дорівнює нулю. Так, на рис.6:

Рис.6

Q_x=Qcos = –Qcos  = –dc;

П

Рис.7

роекцією сили на площину Оху називається вектор , що міститься між проекціями початку і кінця вектора сили на цю площину (рис.7).

Таким чином, на відміну від проекції сили на вісь, проекція сили на площину є величиною векторною, оскільки характеризується не тільки модулем, а й напрямком на площині Оху.

У деяких випадках для знаходження проекції сили на вісь зручно спочатку знайти її проекцію на площину, в якій ця вісь лежить, а потім спроектувати знайдену проекцію на дану вісь. Наприклад, у випадку, зображеному на рис.7:

F_x=F_xy·cosφ=Fcosθcosφ;

F_y=F_xy·sinφ=Fcosθsinφ.

Аналітичний спосіб задання сил. Для аналітичного задання сили необхідно обрати систему координатних осей Oxyz, по відношенню до якої буде визначатись напрямок сили в просторі.

Вектор, що зображає силу , можна побудувати, якщо відомі модуль F цієї сили і кути α, β, γ, які сила утворює з координатними осями. Таким чином, величини F, α, β і γ задають силу . Точка прикладання сили повинна бути задана окремо її координатами x,y,z (рис.8).

Рис.8

Д ля розв’язання задач механіки зручніше задавати силу її проекціями F_х, F_у, F_z на координатні осі. Знаючи ці проекції, можна визначити модуль сили і кути, які вона утворює з координатними осями, за формулами:

;

Якщо ж сили розташовані в одній площині, то кожну із них можна задати її проекціями на дві осі Ох і Оу. Тоді формули, що визначають силу за її проекціями, набудуть вигляду:

Аналітичний спосіб додавання сил. Цей спосіб базується на такій теоремі геометрії: проекція вектора суми на яку-небудь вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових векторів на ту ж вісь.

Згідно цієї теореми, якщо є сумою сил , , ,..., , тобто то .

Знаючи R_x, R_y, R_z, за формулами знаходимо:

Для сил, які розташовані в одній площині, відповідні формули матимуть вигляд:

Ці формули дають можливість розв’язувати задачі про складання сил аналітично. Якщо сили задаються їх модулями та кутами, що вони утворюють з осями, то для застосування аналітичного методу додавання треба попередньо обчислити проекції цих сил на координатні осі.

З

Рис.9

адача. Знайти суму трьох сил, що лежать в одній площині, якщо відомо:F₁=15Н; F₂=20Н; F₃=10Н; φ=60⁰ (рис.9).

Розв’язання. Обчислимо проекції цих сил на координатні осі:

F_1x=0, F_2x=20H; F_3x=F₃·cos60⁰=10· =5(H);

F_1y= –15H, F_2y=0, F_3y=F₃·sin60⁰=10· = 8,5(H);

R_x= 0+20+5=25(H); R_y= –15+0+8,5=–6,5(H); ;