2. Кінематика точки. Способи задання руху точки

Задати рух точки можна одним із трьох способів: натуральним, координатним або векторним.

1

Рис.1

. Натуральний спосіб. Цим способом користуються в тому випадку, коли траєкторія руху точки відома.

Нехай точка М рухається по деякій траєкторії АВ відносно обраної системи відліку (рис.1). Візьмемо на ній довільну точку , яка буде за початок відліку. Траєкторію розглянемо як криволінійну координату. Домовимося про додатний і від'ємний напрямки руху.

Тоді положення точки М буде визначатися криволінійною координатою s, яка дорівнює відстані від точки до точки М, що береться з відповідним знаком. У кожний момент часу точка може займати тільки одне відповідне положення на траєкторії, тому відстань s від початку відліку є деяка однозначна функція часу t. Залежність між змінними s і t називається законом руху точки М уздовж траєкторії.

Спосіб задання руху точки у вигляді s=f(t) називається натуральним.

Отже, при натуральному способі задання руху точки повинні бути відомі:

- траєкторія точки в обраній системі відліку;

- початок відліку на траєкторії і додатний напрямок відліку;

- закон руху точки вздовж траєкторії: s=f(t).

2

Рис.2

. Координатний спосіб. Через те, що траєкторія руху точки відома далеко не завжди, на практиці частіше користуються координатним способом задання руху.

Положення точки по відношенню до даної системи відліку Оxyz можна визначити її декартовими координатами х, у, z (рис.2).

Під час руху точки М її координати будуть змінюватись з плином часу, тобто будуть деякими функціями аргументу t:

x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t).

Я

Рис.3

кщо ми будемо знати, як змінюються з часом координати точки, яка здійснює деякий рух, тобто будуть відомі ці рівняння, то ми завжди зможемо визначити положення її відносно обраної системи відліку.

Якщо весь час точка рухається в одній площині, то, обравши останню за площину Оху, рух точки можна визначити двома рівняннями руху (рис.3):

х = f₁(t), y = f₂(t).

Я

Рис.4

кщо ж точка рухається прямолінійно, то траєкторію її руху (пряму) можна обрати за одну із координатних осей, наприклад, х. Рух точки в такому випадку буде описуватись одним рівнянням (рис.4):

х=f(t).

Рівняння руху точки тут є одночасно і рівняннями її траєкторії.

3

Рис.5

. Векторний спосіб. Положення точки в будь-який момент часу можна визначити за допомогою вектора , проведеного із деякої точки О в дану точку М (рис.5).

Вектор називається радіусом-вектором точки М. Оскільки з плином часу модуль і напрямок вектора змінюються, то він є векторною функцією часу:

.

Це рівняння називається рівнянням руху точки у векторній формі. Воно виражає не тільки закон її руху, а й рівняння траєкторії точки у векторній формі.

Крива, яку описує кінець якого-небудь вектора за умови, що його початок знаходиться весь час в одній і тій же точці, називається годографом вектора. Отже, траєкторією точки М є годограф радіуса-вектора .

Зв'язок між векторним і координатним способами легко встановити, якщо ввести одиничні вектори (орти) осей , , , тобто такі вектори, які чисельно дорівнюють одиниці й напрямлені вздовж осей x, y, z (рис.5). Обравши точку О за початок прямокутної системи координат і розклавши радіус-вектор по осях координат, маємо вираз для визначення положення точки М:

.

Векторний спосіб задання руху достатньо зручний для встановлення загальних закономірностей. Він дозволяє описати рух точки одним рівнянням на відміну від координатного, де кількість рівнянь дорівнює трьом. Але при розв'язуванні конкретних задач, коли вимагається чисельний результат, частіше зручнішими є координатний або натуральний способи.