3.Додавання пар. Умова рівноваги системи пар

Теорема про додавання пар сил. Система пар, що діють на абсолютно тверде тіло, еквівалентна одній парі з моментом, що дорівнює геометричній сумі моментів складових пар.

Спочатку розглянемо дві пари з моментами і , що лежать у площинах І і ІІ (рис.3).

Візьмемо на лінії перетину площин відрізок АВ=d і зобразимо пару з моментом силами , , а пару з моментом – силами , (звичайно, , ).

Рис.3

Додавши сили, прикладені в точках А і В, переконаємось, що пари , та , дійсно еквівалентні одній парі , . Визначимо момент цієї пари. Оскільки, , то або

Для двох пар теорема доведена. При цьому незаперечно, що доведення зберігається, якщо площини І і ІІ збігаються, тобто, коли пари лежать в одній площині.

Якщо ж на тіло діє система n пар з моментами , ,…, , то послідовно застосовуючи результат, здобутий для двох пар, знаходимо, що дана система пар буде дійсно еквівалентна одній парі з моментом:

Умова рівноваги системи пар. Для рівноваги системи пар, розміщених як завгодно в просторі, необхідно і достатньо, щоб дорівнювала нулю геометрична сума їх моментів ( ), тобто многокутник, побудований на моментах цих пар, був замкнутим.

Задача. На тверде тіло діють дві пари сил , і , , які лежать у взаємно перпендикулярних площинах (рис.4). Модуль моменту першої пари дорівнює 30Нм, а другої – 40Нм. Визначити результуючу пару.

Р

Рис.4

озв’язання. Зобразимо вектори та , приклавши їх у деякій точці А. Момент результуючої пари зобразиться як . Отже, результуюча пара розміститься в площині ABCD, перпендикулярній вектору . Модуль її моменту дорівнює:

.

Питання для самоконтролю

1. Що називається парою сил, моментом пари сил?

2. Як визначається момент пари як вектор?

3. Сформулювати та довести теорему про еквівалентність пар. Які висновки вона має?

4. Сформулювати теорему про додавання пар сил. Довести її.

5. Назвати умову рівноваги системи пар сил.

Лекція №6

Тема: “Зведення системи сил до центра. Умови рівноваги”

План

1. Момент сили відносно центра (або точки).

2. Теорема про паралельне перенесення сили.

3. Зведення системи сил до даного центра.

4. Умови рівноваги системи сил. Теорема про момент рівнодійної (теорема Варіньйона).

1. Момент сили відносно центра (або точки)

Розглянемо силу , прикладену в точці А (рис.1). Із деякого центра О опустимо перпендикуляр на лінію дії сили ; довжину h цього перпендикуляра називають плечем сили відносно центра О.

Момент сили відносно центра визначається:

1)модулем моменту, який дорівнює добутку Fh;

2

Рис.1

)положенням у просторі площини ОАВ (“площини повороту”), що проходить через центр О і силу ;

3)Напрямом повороту в цій площині.

Із геометрії відомо, що положення площини в просторі визначається напрямом нормалі (перпендикуляра) до цієї площини. Таким чином, момент сили відносно центра є величиною векторною.

Моментом сили відносно центра О називається прикладений у центрі О вектор , модуль якого дорівнює добутку модуля F сили на її плече h і який напрямлений перпендикулярно площині, що проходить через центр О і силу, в той бік, звідки сила бачиться такою, що намагається повернути тіло навколо центра О проти ходу годинникової стрілки (рис.1).

Згідно цього означення:

Формула, що виражає вектор :

або ,

де – радіус-вектор точки А, проведений із центра О.

Таким чином, момент сили відносно центра О дорівнює векторному добутку радіуса-вектора , проведеного із центра О в точку А прикладання сили, на вектор сили.

Властивості моменту сили відносно центра:

1) момент сили відносно центра не зміниться від перенесення точки прикладання сили вздовж її лінії дії;

2) момент сили відносно центра О дорівнює нулю або коли сила дорівнює нулю, або коли лінія дії сили проходить через центр О (плече дорівнює нулю).