2. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки

Другою основною динамічною характеристикою руху точки є кінетична енергія.

Кінетичною енергією матеріальної точки називається скалярна величина , яка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості.

Одиниця вимірювання її та ж, що й роботи, тобто в системі СІ – 1Дж. Визначимо залежність між цими величинами.

Нехай матеріальна точка масою m переміщається із положення М₀, де вона мала швидкість v₀, в положення M₁, де її швидкість v₁.

Запишемо залежність, яка виражає основний закон динаміки:

Проектуючи її на дотичну Mτ до траєкторії точки M, напрямлену в бік руху, дістанемо:

Дотичне прискорення подамо у вигляді:

У результаті:

Помножимо обидві частини рівняння на ds і занесемо m під знак диференціалу. Тоді F_kτds=dA_k, де dA_k – елементарна робота сили . У результаті дістанемо вираз для теореми про зміну кінетичної енергії точки в диференціальній формі:

Проінтегрувавши обидві частини цієї рівності в межах, які відповідають значенням змінних М₀ і M₁, остаточно знайдемо:

Це рівняння виражає теорему про зміну кінетичної енергії точки в кінцевому вигляді: зміна кінетичної енергії точки на деякому її переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт всіх сил, що діють на точку, на тому ж переміщенні.

Теорема дає можливість, знаючи як в процесі руху точки змінюється її швидкість, визначити роботу сил (перша задача) або, знаючи роботу сил, що діють на точку, визначити, як змінюється у процесі руху швидкість точки (друга задача динаміки).

3. Кінетична енергія системи

Кінетичною енергією системи називається величина Т, яка дорівнює сумі кінетичних енергій всіх точок системи:

Кінетична енергія є характеристикою і поступального, і обертального руху системи.

Кінетична енергія Т – величина скалярна на відміну від кількості руху і кінетичного моменту відносно центра . Відмінною рисою Т є і те, що на її зміну впливає дія внутрішніх і зовнішніх сил.

Розглянемо, як визначається кінетична енергія тіла в різних випадках руху.

1. Поступальний рух. У цьому випадку всі точки рухаються з однаковими швидкостями, які дорівнюють швидкості центра мас. Отже, v_k=v_c, тоді:

або

Таким чином, кінетична енергія тіла у поступальному русі дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості його центра мас.

2. Обертальний рух. Якщо тіло обертається навколо осі Oz, то швидкість будь-якої його точки v_k=ωh_k, де h_k – відстань точки від осі обертання, а ω – кутова швидкість тіла. Підставляючи значення в формулу і виносячи спільні множники за дужки, дістанемо:

Величина в дужках є моментом інерції тіла відносно осі z. Таким чином,

Кінетична енергія тіла у обертальному русі дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат його кутової швидкості.

3. Плоскопаралельний рух. Плоскопаралельний рух тіла можна подати як обертальний рух навколо миттьового центра швидкостей Р (рис.3). Тоді,

д

Рис.3

е – момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через миттьовий центр швидкостей; ω – кутова швидкість обертання тіла.

Величина – змінна, оскільки положення центра Р у процесі руху весь час змінюється. Визначимо цей момент інерції як:

де d=PC.

Оскільки Р – миттьовий центр швидкостей, то ωd=ω PC=v_c, де v_c – швидкість центра мас С (рис.3), остаточно:

Отже, у плоскопаралельному русі кінетична енергія тіла дорівнює енергії поступального руху зі швидкістю центра мас та енергії обертального руху навколо центра мас.