2. Теорема про додавання швидкостей

Т

а) б)

Рис.2

еорема. Абсолютна швидкість матеріальної точки у складному русі дорівнює геометричній сумі її переносної і відносної швидкостей.

Нехай точка М здійснює за проміжок часу Δt=t₁-t вздовж траєкторії АВ відносне переміщення (рис.2,а). Сама крива АВ, рухаючись разом з рухомими осями Охуz (не показані на рисунку), перейде за той же проміжок часу в нове положення А₁В₁. Одночасно та точка m кривої АВ, з якою в момент часу t збігається точка М, здійснить переносне переміщення . У результаті точка M займе положення М₁ і здійснить за час Δt абсолютна переміщення .

Із векторного трикутника Mm₁M₁ маємо:

.

Поділимо обидві частини цього рівняння на Δt і перейдемо до границі:

.

Але із визначення:

З приводу останньої складової зазначимо, що оскільки при Δt→0 крива А₁В₁ прямує до накладання з кривою АВ, а гранично:

,

то

= + .

Вектори , і напрямлені по дотичних, проведених до відповідних траєкторій (рис.2,б). Побудована фігура на цьому рисунку називається паралелограмом швидкостей. Отже, теорема доведена.

Якщо кут між напрямками векторів та дорівнює α, тоді модуль абсолютної швидкості обчислюється за теоремою косинусів:

3. Теорема про додавання прискорень

Теорема Коріоліса. Абсолютне прискорення точки в складному русі дорівнює геометричній сумі трьох прискорень: відносного, яке характеризує зміну відносної швидкості точки у відносному русі; переносного, яке характеризує зміну переносної швидкості точки в переносному русі, і прискорення Коріоліса, яке характеризує зміну відносної швидкості точки в переносному русі й переносної швидкості точки у відносному русі.

Доведення. Точка М здійснює складний рух (рис.3). Знайдемо співвідношення між абсолютним , відносним і переносним прискореннями.

Для визначення будемо розглядати приріст вектора на абсолютному елементарному переміщенні (позначимо через d), для визначення – приріст вектора на відносному елементарному переміщенні (позначимо d₁), для визначення – приріст вектора на переносному елементарному переміщенні (позначимо d₂), тобто:

Рис.3

.

Оскільки у складному русі

,

то

Беручи до уваги те, що абсолютне елементарне переміщення дорівнює геометричній сумі відносного і переносного елементарних переміщень, маємо:

,

де – елементарний приріст вектора на відносному переміщенні , – елементарний приріст на переносному переміщенні . Для визначення враховуємо, що переносний рух складається в загальному випадку із поступального переміщення разом з деякою точкою О і повороту навколо цієї точки. Позначивши кутову швидкість через і використавши співвідношення , маємо:

.

Тоді знаходимо:

.

Аналогічно запишемо:

,

де – елементарний приріст вектора на відносному переміщенні , – елементарний приріст на переносному переміщенні .

Оскільки має різні значення для точок М і М', тобто він змінюється у відносному русі, то скориставшись залежністю , знайдемо:

,

де . Отже,

.

Тоді:

.

Введемо позначення:

.

Величина називається поворотним або коріолісовим прискоренням точки і характеризує зміну вектора відносної швидкості у переносному русі й вектора переносної швидкості у відносному русі.

Остаточно запишемо:

.

Ця формула і виражає теорему Коріоліса. Для визначення прискорення Коріоліса використовують формулу:

,

тобто воно дорівнює подвоєному векторному добутку кутової швидкості переносного руху на відносну швидкість точки.

Якщо кут між векторами і позначимо через α, то величина прискорення Коріоліса визначиться за формулою:

а_кор=2|ω_пер ν_від| sinα.

а) б)

Рис. 4

Вектор напрямлений перпендикулярно площині, яка проходить через вектори і у той бік, звідки найкоротше суміщення з проходить проти ходу годинникової стрілки (рис.4, а).

Якщо спроектувати вектор на площину S, перпендикулярну , то повернувши проекцію на 90° у бік переносного обертання, також дістанемо напрямок прискорення Коріоліса (рис.4,а). Якщо відносний рух відбувається в одній площині, то кут α=90° (рис.4,б), і прискорення Коріоліса визначиться за формулою: а_кор=2|ω_пер·v_від|, а напрямок, повернувши вектор відносної швидкості на кут 90° у бік переносного обертання.

Із формули визначення прискорення Коріоліса виходить, що воно дорівнює нулю в таких випадках:

1) коли ω_пер.=0, тобто у випадку поступального переносного руху або в моменти, коли кутова швидкість непоступального переносного руху перетворюється на 0;

2) коли v_від=0, тобто у випадку відносного спокою точки або в моменти, коли її відносна швидкість перетворюється на 0;

3) коли , тобто у випадку, коли вектор відносної швидкості точки в даний момент паралельний осі Оz переносного обертання.