Г лава 6

где: Уг[Д — значение компоненты у,- вектора y[j];

тЬ,af — параметры распределения п^(у ],..., у£) кластера, соответст­вующего состоянию h объекта. Точка y[j ] относится к тому кластеру, для которого расстояние р/, мини­мально.

Можно также использовать модифицированное обобщенное расстояние р\, учитывающее фактор к и определяемое по формуле:

?h д/P/j 2lnkh, kh ⁼⁼ h h h )l/2 , (6.13.2)

где: kh — фактор к для кластера, соответствующего состоянию h.

Пример. Объект — химический реактор; контролируются переменные: У1 — температура, у2 — концентрация компонента A, уз — концентрация компонента B, у4 — давление; выделены три кластера, соответствующие со­стояниям: ho— нормальное функционирование, hi — нарушена подача хла­дагента, /*2 — не работает мешалка, с параметрами т₁⁰ = 195, а₁⁰ = 10, /й0 = 80, а0 = 5, т? = 10, о0 = 2, /и 0 = 5, а0 = 0,5; m1 = 250, а₁¹ = 20, ml = 70,

2 2 ₃ 3 4 4 1 ,-₂

а1 = 5, /и1 = 15, а¹ = 3, /и] = 4,8, <j1 = 0,5; т( ) = 190, а( = 15, ш ⁾ = 60,

2 3 3 ₄ 4 1 1 2

а₂⁽² ) = 7,5, /и₃⁽ ) = 22, а₃⁽² ) = 5, /и₄⁽²) = 4,7, о⁽₄^{2 )} = 0,6 (где а/, /и/ — среднее квад-

ратическое отклонение и математическое ожидание /-й переменной для v-го кластера).

При очередном j-м измерении вектора y получены:

y[j] = (У[ 3 ] = 220, j^[ 3 ] = 75, х?[ j ] = 12, j[ j ] = 4,9),

обобщенные расстояния рh, вычисленные согласно (6.12.1), которые равны: р/г₀ = 2,88, ph1= 2,06, рh = 3,48. Расстояние p/j минимально, поэтомуу[у ] со­ответствует состоянию h j.

В ряде случаев пространство значений вектора y содержит определен­ный кластер. В зависимости от того, какому сектору принадлежит точка y[ у ], делают вывод о принадлежности ее к соответствующему кластеру, а следовательно, о том, какое состояние работоспособности и нарушение имеет место в рассматриваемый период времени.

Классификационные (разделяющие) линии или функции, которые де­лят область наблюдаемых значений y на части, соответствующие различным состояниям работоспособности, определяют методами дискриминационно­го анализа и распознавания образов, например методами случайных плос­костей, потенциальных функций, которые реализуются на ЭВМ.

Пример. Имеются два информативных признака: yj, у2, по значениям которых определяют состояние или образ объекта. Возможны два состояния работоспособности: ho и hj. Линия L делит область значений у = (yj, у2) на две части: Yo и Yj; если ye Yo, то имеет место состояние ho, если уе У/, то — hj. В общем случае L — разделяющая плоскость.

247

Г лава 6

Алгоритм построения линии L методом случайной плоскости содержит два этапа и заключается в следующем. На первом этапе проводится серия частных разделяющих линий L_i, i= 1, 2, ... . Для этого берут два первых зна­чения у, принадлежащих разным образам, например y[1]еY ₀ и y[2]gY ₁, и проводят произвольную линию L1, разделяющую точки y[1] и y[2] (рис. 6.24, а). Берут следующее значение y[3], для определенности пусть y[3]eY ₁. Если y[3] и y[2] лежат в одной полуплоскости относительно L1, то новой линии не проводят; если же y[3] находится в одной полуплоскости с y[1]еY ₀, то проводят линию L2, отделяющую y[3] от y[1] (рис. 6.24, б). Далее рассматривают значение y[4]. При y[4]еY ₀ проводят линию L ₃, отде­ляющую y[4] от y[2]gY ₁ (рис. 6.24, в), и т. д. Первый этап заканчивается, когда будут введены все значения y[ j ], предназначенные для построения разделяющей линии. На втором этапе стирают те участки частных линий L_i, по обе стороны которых имеются одноименные точки, оставшиеся участки образуют разделяющую линию L (рис. 6.24, г).

< •ч.	Ч	У\
	Ч, ч, Ч	ХУ[2]
		^,--	'\
ЯЛ о		У V У V У -.	L2
		У У	ч,
^0		X у[3]

а)

Yi

б)

У\

Y₂'

Y₂'

Г° Я4]	У\
>^ О	х У[2]
	^ У
Yo	^ хх ' ' L2
О
М	У ^ У ^
У У У	ХЯЗ]
	L3

J<
ч,	уЩ	^ L
Li Mo	ч. Yo	ХУ[2] , X У х у. v ' т Y\ у>^
	У	х У[3]
	X	^L3

г

в) ⁷1 г)

Рис. 6.24. Схемы построения разделяющей линии методом случайных плоскостей:

а — два измерения; б — три измерения; в — четыре измерения; разделяющая линия L: о — измерения y[j] е Y0; х — измерения y[i] е Y1

Yi

248