4.3.3. Основные законы распределения, используемые в теории надежности

В теории надежности наибольшее распространение получили следую­щие законы распределения случайных величин f(t):

— для дискретных случайных величин — биноминальный закон; закон Пуассона;

143

Г лава 4

— для непрерывных случайных величин — экспоненциальный закон; нормальный закон; гамма-распределение; закон Вейбулла; %² — рас­пределение; логарифмически-нормальное распределение. Биноминальный закон распределения числа n появления события А в т независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события А в одном испытании равна р, вероятность непоявления события А равна q = 1– р; число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n событий в испытаниях будет:

Р£ =С%₁р^п(1 –р)^т–^п, (4.3.2)

где: С% — число сочетаний из т по п. Свойства распределения следующие:

1. число событий п — целое положительное число;

2. математическое ожидание числа событий равно тр;

3. среднеквадратическое отклонение числа событий:

ст = -Jrnp(1 р).

При увеличении числа испытаний биноминальное распределение при­ближается к нормальному со средним значением п/т и дисперсией р(1 - р) / т.

Закон Пуассона — распределение чисел случайного события щ за время т. Вероятность возникновения случайного события п раз за время т:

Pn()= ( ! exp(-Хт), (4.3.3)

п

где: А, — интенсивность случайного события. Свойства распределения следующие:

1. математическое ожидание числа событий за время т равно А/с;

2. среднеквадратическое отклонение числа событий:

Характерный признак распределения Пуассона — равенство математи­ческого ожидания и дисперсии. Это свойство используется для проверки степени соответствия исследуемого (опытного) распределения с распреде­лением Пуассона.

Распределение Пуассона получается из биноминального распределения, если число испытаний m неограниченно возрастает, а математическое ожи­дание числа событий а = Ах остается постоянным.

Тогда вероятность Р£ биноминального распределения при каждом п, равном 0, 1, 2, ..., стремится к пределу:

(а)^п

exp(–а).

п!

Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить веро­ятность того, что в изделии за заданное время произойдет один, два, три и т. д. отказов.

144

Г лава 4

Экспоненциальный (показательный) закон распределения случайной ве­личины Х(рис. 4.3.3, а) записывается в общем случае так:

Р(х) = exp(–Хх),

где: Р(х) — вероятность того, что случайная величина X имеет значение больше х; значения е~^х даются в приложении 1. В частном случае, когда за случайную величину принимается время ра­боты объекта t, вероятность того, что изделие на протяжении времени t бу­дет находиться в работоспособном состоянии, равна еxp(–Xt):

P(t) = exp(–Xt), (4.3.4)

где: X — интенсивность отказов объекта для экспоненциального распре­деления (она постоянна), т. е. А, = const.

Выражение (4.3.4) можно получить непосредственно из (4.3.3), если чис­ло отказов п принять равным 0.

Вероятность отказа за время t из (4.3.4):

Q(t) = 1 – P(t) = 1 – exp(–Xt). (4.3.5)

Плотность вероятности отказов:

f(t) =8Q/8t =Xexp(–Xt). (4.3.6)

Среднее время работы до возникновения отказа:

со со

Т₁ = J tf(t)dt = J P(t)dt = 1 / X. (4.3.7)

0 0

Дисперсия времени работы до возникновения отказа:

со

D(t) = \(t – Т₁) f(t)dt = 1/X . (4.3.8)

0

Среднеквадратическое время работы:

<j(t) =Т₁. (4.3.9)

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени рабо­ты — характерный признак экспоненциального распределения.

Статистические материалы об отказах элементов свидетельствуют о том, что в основном время их работы подчиняется экспоненциальному закону распределения. Условием возникновения экспоненциального закона рас­пределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не начал­ся, т. е. для нормальных условий эксплуатации. Постоянной становится ин­тенсивность отказов сложных объектов, если вызываются они отказами бо­льшого числа комплектующих элементов.

Время возникновения первичных отказов может быть расположено на оси времени так, что суммарный поток отказов сложного изделия стано­вится близким к простейшему, т. е. с постоянной интенсивностью отказов.

145

Г ЛАВА 4

f(t)

Q(t)

P(t)

X(t)

а)

_к

_к

б)

f(t)

_к

t Y- t I ^— /

Q (t) P(t)

■к

t l£ t I ^^/

Ht) к

_к

в)

f(t)

к к f(t)

Q(t)

P (t)

_к

■к

к P(t)

t V. t I ,^~=^ /

Q(t)

X(t)

X(t)

г)

д)

f(t)

t ^ t I -^ /

Q(t) P(t)

t ^- t I ^^ t

X(t)

с)

f(t)

P(t)

Q(t)

t ^ t I ^ t

X(t)

Рис. 4.3.3. Распределения:

а – экспоненциальное; б — у-распределение; в — Вейбулла; г — нормальное; д — усеченное нормальное; е — Рэлея

Этими обстоятельствами, а также тем, что предположение об экспонен­циальном распределении существенно упрощает расчеты надежности, объ­ясняется широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

Гамма-распределение случайной величины (рис. 4.3.3, б). Если отказ устройства возникает тогда, когда произойдет не менее k отказов его эле­ментов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с пара­метрами λ₀, плотность вероятности отказа устройства:

146

Г ЛАВА 4

jjcfk—l

fit)

(4.3.9)

Qxp(-X₀t),

(£-1)!

где: Xq — исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом к элементов.

Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств. Равенство (4.3.9) получается из (4.3.3).

Вероятность к и более отказов, т. е. вероятность отказа данного устрой-

ства:

Р(п >к)=\

п\

2/ ^и; ехр(-А,₀0-

н=0

(4.3.10)

Плотность вероятности отказа устройства за время t:

yjcflc-l

d dt

0

1

fit)

2/, ехр( -А,₀;)

(*-1 ) !

Среднее время работы устройства до отказа:

£-1

71 = £Г₀ = к /Х₀. Интенсивность отказов устройства:

А-о

(Я-о)

(& -1)! ^ i1 ) i

Ht)

ехр( -А-о)-

(4.3.11)

(4.3.12)

(4.3.13)

/=о

i\

Вероятность безотказного состояния устройства:

к-\ 1

i>(0=exp(-X₀OZ-(^o)^/-

1=0

(4.3.14)

При & = 1 у-распределение совпадает с экспоненциальным распределе­нием.

При увеличении к у-распределение будет приближаться к симметрично­му распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выражен­ный характер возрастающей функции времени.

Распределение Вейбулла. Для случая, когда поток отказов не стационар­ный, т. е. плотность потока изменяется с течением времени, функция рас­пределения времени до отказа приобретает вид, показанный на рис. 4.3.3, в.

Плотность вероятности отказов этого распределения:

fit) = Xat^a-l ехр(-А,о?^а). (4.3.15)

Вероятность отсутствия отказа за время t

P{t) =Qxp(-Xot^a). (4.3.16)

Интенсивность отказов:

Xit) = aXot^a-^. (4.3.17)

147