Г лава 4

Пример 4.5.13. Требуется определить вероятность безотказной работы системы с двумя исправными элементами из трех, если А, = 0,0005 ч^-1; а = 0,3; t= 200 ч.

С помощью выражения для Я^ находим, что вероятность безотказной работы системы, в которой происходили множественные отказы, составляет 0,95772. Отметим, что для системы с независимыми отказами эта вероят­ность равна 0,97455.

Система с параллельно-последовательным соединением элементов соот­ветствует системе, состоящей из одинаковых элементов, для которых харак­терны независимые отказы, и ряда ветвей, содержащих воображаемые эле­менты, для которых характерны множественные отказы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с параллельно-последова­тельным (смешанным) соединением элементов можно определить с помо­щью формулы R_ps = 1 -1(1 - R^¹ )^п 1^2, где т — число одинаковых элементов

в ответвлении, п — число одинаковых ответвлений.

При постоянных интенсивностях отказов A,1 и Х₂ это выражение прини­мает вид:

Rps() = [ 1 ~ 1(1 ~^е~^п(1 ~^а) )^т \е~^а . (4.5.37)

Интенсивность отказов системы с параллельно-последовательным сое­динением элементов и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:

(у-1)

^ps() = ^а^ + гпп(1 -а)Х , (4.5.38)

где X = 1 / 1 - g-«(1-Y)w 1 и

Т0

^ ^т\■1 / / (-1)-⁷

j=k\ ) (4.5.39)

\Ха + nX(j -а/) }

Система, элементы которой соединены по мостиковой схеме, соответст­вует схеме, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и последовательно подсоединенного к ним вообража­емого элемента, для которого характерны множественные отказы. При мно­жественном отказе гипотетического элемента вся система выходит из строя. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с элемента­ми, соединенными по мостиковой схеме, можно вычислить по формуле:

^= { 1-2(1-^)5+5(1-^)4-2(1-^)3-2(1-^)2}^. (4.5.40)

(здесь Rb — вероятность безотказной работы мостиковой схемы, для кото­рой характерны множественные отказы). Эта формула при постоянных ин­тенсивностях A,1 и А,2 принимает вид:

176

Г лава 4

R_b(t) = { 1-2(1-e~^At)⁵ +5(1-e~^At)⁴ -2(1-e~^At)³ -2(1 -е~^)²}е-^, (4.5.41)

(здесь À = (1 – a)X). Зависимость безотказной работы системы Rb(t) для раз­личных параметров a показана на рис. 4.5.21. При малых значениях At веро­ятность безотказной работы системы с элементами, соединенными по мос-тиковой схеме, убывает с увеличением параметра а.

Рис. 4.5.21. Зависимость вероятности безотказной работы системы, элементы которой соединены по мостиковой схеме, от параметра а

Интенсивность отказов рассматриваемой системы и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:

Xkn(t) = [ЗА. + А(-8л⁵ + 25л⁴ -24л³ + 4л² + 4л) +

+

2Л

__?7Г5 5И _?_п3

1-2л⁵ +5л⁴ -2л³ -2л²

(4.5.40)

где л = (1 - е~^м) и

2

2

5

2

70

4 )\. (4.5.41)

Пример 4.5.14. Требуется вычислить вероятность безотказной работы в течение 200 ч для системы с одинаковыми элементами, соединенными по мостиковой схеме, если А, = 0,0005 ч^-1 и а = 0,3.

Используя выражение для Rb(t), находим, что вероятность безотказной работы системы с соединением элементов по мостиковой схеме составляет примерно 0,96; для системы с независимыми отказами (т. е. при а = 0) эта вероятность равна 0,984.

4.5.4.5. Модель надежности системы с множественными отказами

Для анализа надежности системы, состоящей из двух неодинаковых эле­ментов, для которых характерны множественные отказы, рассмотрим такую модель, при построении которой были сделаны следующие допущения и приняты следующие обозначения:

177