Г лава 4

Пример 4.5.10. Требуется определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку на отказ системы, состоящей из пяти независимых и одинаковых элементов, соединенных по мостиковой схеме (рис. 4.5.3, б); считается, что X = 0,0005 ч^-1, t = 100 ч и все элементы начинают работать в момент времени t = 0.

Решение.

1. С помощью формулы (4.5.20) получаем:

Р₍₁₀₀) = 2е-^0,25 -5е~^0,2 + 2е-^0,15 + 2е~^0,1 = 0,9999.

2. Подставляя полученное значение вероятности безотказной работы в формулу (4.5.21), находим среднюю наработку на отказ:

Т0 = 49 / (60 х 0,0005) = 1633,4 ч. 4.5.4. Надежность резервированной системы

Одним из путей повышения надежности системы является введение в нее резервных (дублирующих) элементов. Резервные элементы включают­ся в систему как бы «параллельно» тем, надежность которых недостаточна.

4.5.4.1. Параллельное соединение резервного оборудования системы

Рассмотрим самый простой пример резервированной системы — парал­лельное соединение резервного оборудования системы. В этой схеме все п одинаковых образцов оборудования работают одновременно, и каждый об­разец оборудования имеет одинаковую интенсивность отказов. Такая кар­тина наблюдается, например, если все образцы оборудования держатся под рабочим напряжением (так называемый «горячий резерв»), а для исправной работы системы должен быть исправен хотя бы один из п образцов оборудо­вания.

В этом варианте резервирования применимо правило определения на­дежности параллельно соединенных независимых элементов. В нашем слу­чае, когда надежности всех элементов одинаковы, надежность блока опре­деляется по формуле (4.5.10)

Р = 1-(1-р)^п.

Если система состоит из п образцов резервного оборудования с различ­ными интенсивностями отказов, то:

P(t) = 1 -(1 -р₁)(1 -Р2)...(1 ~Рп). (4.5.22)

Выражение (4.5.22) представляется как биноминальное распределение. Поэтому ясно, что когда для работы системы требуется по меньшей мере к исправных из п образцов оборудования, то:

vf"! i i ("1 n!

P(t) = Ц ^l \P¹(1-P)ⁿ~^l, где i = _ . (4.5.23)

i=k\ J у j (П l) !1!

При постоянной интенсивности отказов l элементов это выражение принимает вид:

167

Г ЛАВА 4

п(п\ (1_ у

(4.5.24)

P(t) = Y\ i \pi ^Р)

i=k\ J (1 P)

где: p = exp(-Xt).

4.5.4.2. Включение резервного оборудования системы замещением

1

/

\

п

Рис. 4.5.11. Блок-схема системы

включения резервного

оборудования системы замещением

В данной схеме включения п одинаковых образцов оборудования только один находится все время в работе (рис. 4.5.11). Когда работа­ющий образец выходит из строя, его непременно отключают, и в работу вступает один из (л – 1) резервных (запасных) элементов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все (n – 1) резервных образцов не будут исчерпаны.

Примем для этой системы следу­ющие допущения:

1. Отказ системы происходит, если откажут все п элементов.

1. Вероятность отказа каждого образца оборудования не зависит от со­стояния остальных (п – 1) образцов (отказы статистически независимы).

3. Отказывать может только оборудование, находящееся в работе, и условная вероятность отказа в интервале (t, t + dt) равна Xdt; запасное обо­ рудование не может выходить из строя до того, как оно будет включено в ра­ боту.

4. Переключающие устройства считаются абсолютно надежными.

4. Все элементы идентичны. Резервные элементы имеют характеристики как новые.

Система способна выполнять требуемые от нее функции, если исправен по крайней мере один из п образцов оборудования. Таким образом, в этом случае надежность равна просто сумме вероятностей состояний системы, исключая состояние отказа, т. е.:

й-1 P(t) =exp(-Х)£()^// !. /=0

(4.5.25)

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух резервных образцов оборудования, включаемых замещением. Для того чтобы эта сис­тема работала, в момент времени t, нужно, чтобы к моменту t были исправ­ны либо оба образца, либо один из двух. Поэтому:

й-1 P(t) = exp(-X)j^(Xt)' / i! = (exp(-Xt))(1 + Xt).

i=0

(4.5.26)

168

Г ЛАВА 4

На рис. 4.5.12 показан график функции Р(t) и для сравнения при­веден аналогичный график для не­резервированной системы.

Пример 4.5.11. Система состоит из двух идентичных устройств, одно из которых функционирует, а другое находится в режиме ненагруженного резерва. Интенсивности отказов обоих устройств постоянны. Кроме того, предполагается, что в начале работы резервное устройство имеет такие же характеристики, как и но-

P(t)

i

1 ,0

е"^яЧ1 + It)

0,8 0,6 0,4 0,2 0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Нормализованное время, It

Рис. 4.5.12. Функции надежности для дублированной системы

1 — с включением резерва замещением; 2 — нерезервированной системы

вое. Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в тече­ние 100 ч при условии, что интенсивности отказов устройств А, = 0,001 ч^-1. Решение. С помощью формулы (4.5.25) получаем:

P(t) = exp(-Xt) ■ (1 + Xt).

При заданных значениях t и А, вероятность безотказной работы системы составляет:

P(t)=e-^0,1(1 + 0,1) =0,9953.

Во многих случаях нельзя предполагать, что запасное оборудование не выходит из строя, пока его не включат в работу. Пусть A-1 — интенсивность отказов работающих образцов, а А2 — резервных или запасных (А,2 > 0). В случае дублированной системы функция надежности имеет вид:

P(t) = exp(-(A1 +X₂)t) + ^X1 +^X2 exp(-A1t )-^X1 +^%2 exp(-(A1 +A₂)t ).

A2 A2

Данный результат для k = 2 можно распространить на случай k= n. Действительно:

P(t) = exp(-A-1 (1 + а(n

1))t ) 1

^{n 1} (exp(aA-1t ) - 1)^k

а^kk!

k=1

I

k-1 у\ [1 + а(n -1 - j)] , где a = А2 / A-1 > 0.

j=0

(4.5.27)

4.5.4.3. Надежность резервированной системы в случае комбинаций отказов и внешних воздействий

В некоторых случаях отказ системы возникает вследствие определенных комбинаций отказов образцов входящих в систему оборудования и (или) из-за внешних воздействий на эту систему. Рассмотрим, например, метео­спутник с двумя передатчиками информации, один из которых является ре­зервным или запасным. Отказ системы (потеря связи со спутником) возни-

169