Г лава 4

Среднее время безотказной работы системы Т0 находим, интегрируя уравнение (4.5.12) в интервале [0, оо]:

СО 00 „

Т0 = \P(t)dt = J 1 - П (1 - exp(-М) idt = 0 0 I ^/=1 J

= (1 /1 +1/А,₂+...+1 /„)-(1/(A,1 + Х₂) + 1/ (Х1 + Х₃)+...) + (4.5.13)

и

+(1/ (Я,1 + Х₂ +^3) + 1/ (А,1 +А.2 +А,₄)+...) + (-1)^и+1 х 1/ £*,,-.

/=1

В случае, когда интенсивности отказов всех элементов одинаковы, вы­ражение (4.5.13) принимает вид:

( « Л 7₀=1/ ^Zj1/Ч. (4.5.14)

Среднее время работы до отказа также можно получить, интегрируя уравнение (4.5.8) в интервале [0, оо].

Пример 4.5.6. Предположим, что два одинаковых вентилятора в системе очистки отходящих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной на­грузке без изменения своих надежностных характеристик.

Требуется найти безотказность системы в течение 400 ч (продолжитель­ность выполнения задания) при условии, что интенсивности отказов двига­телей вентиляторов постоянны и равны X = 0,0005 ч^–1_, отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t = 0.

Решение. В случае идентичных элементов формула (4.5.12) принимает вид:

P(t) = 2exp(-M) -exp(-2А).

Поскольку X = 0,0005ч^-1 и t = 400 ч, то:

Р₍₄₀₀) = 2exp(-0,0005 х 400) -exp(-2 х 0,0005 х 400) = 0,9671.

Среднюю наработку на отказ находим, используя (4.5.13):

Т₀ = 1 / Х(1 /1 + 1/2) =1/А,хЗ/2 =1,5/ 0,0005 = 3000 ч.

4.5.3.3. Способы преобразования сложных структур

Относительная простота расчетов надежности, основанных на использова­нии параллельно-последовательных структур, делают их самыми распростра­ненными в инженерной практике. Однако не всегда условие работоспособно­сти можно непосредственно представить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалент­ной параллельно-последовательной структурой. К таким преобразованиям от­носятся:

163

Г ЛАВА 4

• преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и об­ратно;

• разложение сложной структуры по базовому элементу.

Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключается в том, что узел сложной кон­фигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, что надежности пре­образуемой цепи сохранялись прежними.

Пусть, например, требуется за-

*3

№з

б)

[С #2

*2

(4.5.15)

менить треугольник (рис. 4.5.7, а) звездой (рис. 4.5.7, б) при условии, что вероятность отказа элемента а равна #13, элемента Ъ равна q₁₂, эле­мента с — #23. Переход к соедине­нию звездой не должен изменить надежность цепей 1—2, 1—3, 2—3. Поэтому значение вероятностей от­казов элементов звезды q1, q2, #₃ должны удовлетворять следующим равенствам:

#1 + #2 -#1#2 = #12 (#23 #2 + #3 "#2#3 =423(#31

#₃ + #₁ -#₃#1 = #31(#₁2

а)

#31 #12 #23

#13

1*-

#1

_ш

#12 #23

Рис. 4.5.7. Преобразование «треугольник—звезда»

#23#31);l -#31#12);| #12#23)

Если пренебречь произведениями вида #/#у; #/#у#уь то в результате ре­шения системы уравнения (4.5.15) можно записать:

#1 =#12#31;#2 =#23#12;#3 =#31#23. (4.5.16)

Для обратного преобразования звезды в треугольник:

#12 = V#₁#2 / #3 ;#23 = V#2#3 / #1;#31 = V#₁#3 / #2 . (4.5.17)

Пример 4.5.7. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3, б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9, а вероятности отказов равны 0,1.

Решение.

*В

b

б)

а) В

А*-

а

1. Преобразуем соединение эле­ ментов 1, 2, 5 в треугольник (рис. 4.5.8, а), в звезду (рис. 4.5.8, б).

_-Ш-

^С

2. Определим эквивалентные значения вероятности отказов для новых элементов а, Ъ, с:

Рис. 4.5.8. К примеру преобразования структуры

164

Г ЛАВА 4

Qa =Ш2 =0,1x0,1 = 0,01; Qb = Ш₅ =0,1x0,1 = 0,01; Яс = <12(15 =0,1x0,1=0,01.

3. Определим значения вероятности безотказного состояния элементов эквивалентной схемы (рис. 4.5.8, б):

Ра =РЪ =Рс = 0,99.

казной работы эквивалентного д

устройства (рис. 4.5.9):

4. Определим вероятность безот- ^| ь >| 3 -*

D

_-CZ

Рис. 4.5.9. Преобразованная структура

Р = Pa(PbP3 +РсР4 -РЪР₃РсР4) =

= 0,99(0,99 х 0,9 + 0,99 х 0,9 - 0,99 х 0,9 х 0,99 х 0,9) = 0,978.

Способ преобразования с помощью разложения сложной структуры по некоторому базовому элементу основан на использовании теоремы о сумме вероятностей несовместных событий. В сложной структуре выбира­ют базовый элемент (или группу базовых элементов) и делаются следующие допущения:

• базовый элемент находится в работоспособном состоянии;

• базовый элемент находится в отказавшем состоянии.

Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исходная структура преобразовывается в две новые схемы. В первой из них вместо базового элемента ставится «короткое замыкание» цепи, а во вто­рой — разрыв. Вероятности безотказной работы каждой из полученных про­стых структур вычисляются и умножаются: первая — на вероятность безот­казного состояния базового элемента, вторая — на вероятность отказа базового элемента. Полученные произведения складываются. Сумма равна искомой вероятности безотказной работы сложной структуры.

Пример 4.5.8. Решить предыдущий пример методом разложения слож­ной структуры.

Решение.

1. В качестве базового элемента примем элемент 5 (рис. 4.5.3, б).

2. Закоротим базовый элемент, т. е. сделаем допущение об абсолютной его проводимости. Присоединим к полученной структуре последовательно базовый элемент с характеристикой его надежности^. В результате вместо исходной структуры получим новую структуру (рис. 4.5.10, а).

3. Произведем обрыв базового элемента, т. е. сделаем предположение об его абсолютной ненадежности (непроводимости). К полученной структу­ре присоединим последовательно базовый элемент с характеристикой его ненадежности (1-p5). В результате получим структуру (рис. 4.5.10, б).

165

Г ЛАВА 4

а)

б)

_^ЕТ

(i-/>₅)

1 1 1	Н з ^	D —►
1 2 |—	L-H 4 г*
1 1 1—	-Н з h	D —►
1 2 |—	-Н 4 hJ

4. Искомая вероятность равна сумме вероятностей структур (рис. 4.5.10, а, б), каждая из которых параллельно-последовательная. По­этому:

Рис. 4.5.10. Пример разложения

мостиковой структуры по базовому

элементу

P = p5 [ ( p ₁ +p2 ~p ₁p2 )( p ₃ + p4-p ₃p4) ] + +(1-p ₅) [ p ₁ p ₃ +p2p4 -p1p ₃p2p4 ] =

= 0,9 [ (0,9 + 0,9 - 0,9 х 0,9) х (0,9 + 0,9 - 0,9 х 0,9) ] +

+(1 - 0,9) х [ 0,9 х 0,9 + 0,9 х 0,9 - 0,9 х 0,9 х 0,9 х 0,9] * 0,978.

Вероятность безотказной работы мостиковой схемы, состоящей из пяти неодинаковых и независимых элементов, можно определить по формуле:

P = 2 p ₁p2p ₃p4p5 ~ p2p ₃p4p5 ~ p ₁ p ₃p4p ₅ ~p1p2p4p5 ~

(4.5.18) p1p2p ₃p5 ~ p1p2p ₃p4 + p ₁ p ₃ p ₅ + p2p ₃p4 + p ₁p4 + p2p ₅ .

В случае идентичных элементов эта формула принимает вид:

P = 2p⁵ -5p⁴ + 2p3 + 2p². (4.5.19)

Подставляя соотношение (4.5.19) в формулу (4.5.6), получаем, что в слу­чае использования элементов с постоянной интенсивностью отказов (экс­поненциальном законе распределения отказов):

P(t) = 2exp(-5Xt) -5exp(-4Xt) + 2exp(-3Xt) + 2exp(-2Аt ). (4.5.20)

Среднее время безотказной работы системы Ò ₀ находим путем интегри­рования уравнения (4.5.20) в интервале [0, оо]:

со

T0 = \2exp(-5Xt) -5exp(-4Хt) + 2exp(-3At) + 2exp(-2At) =

0 (4.5.21)

= (49/60)х(1/Х).

Пример 4.5.9. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3, б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9.

Решение.

Так как все элементы идентичны, воспользуемся формулой (4.5.18), с ее помощью получаем:

P = 2 х 0,9⁵ -5 х 0,9⁴ + 2 х 0,9³ + 2 х 0,9² * 0,978.

166