4.5.3. Расчет надежности, основанный на использовании параллельно-последовательных структур

Пусть некоторая техническая система D составлена из n элементов (узлов). Допустим, надежности элементов нам известны. Возникает вопрос об определении надежности системы. Она зависит от того, каким образом элементы объединены в систему, какова функция каждого из них и в какой мере исправная работа каждого элемента необходима для работы системы в целом.

Параллельно-последовательная структура надежности сложного изде­лия дает представление о связи между надежностью изделия и надежностью его элементов. Расчет надежности ведется последовательно — начиная от расчета элементарных узлов структуры к ее все более сложным узлам. На­пример, в структуре (рис. 4.5.3, а) узел, состоящий из элементов 1—2 — эле­ментарный узел, состоящий из элементов 1—2—3—4 — сложный. Эта струк­тура может быть сведена к эквивалентной, состоящей из элементов 1—2—3—4 и элемента 5, соединенных последовательно. Расчет надежности в данном случае сводится к расчету отдельных участков схемы, состоящих из параллельно и последовательно соединенных элементов.

4.5.3.1. Система с последовательным соединением элементов

Самым простым случаем в расчетном смысле является последовательное соединение элементов системы. В такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в целом. По аналогии с цепочкой последова­тельно соединенных проводников, обрыв каждого из которых равносилен

158

Г ЛАВА 4

1

п

Рис. 4.5.4. Блок-схема системы

с последовательным соединением

элементов

размыканию всей цепи, мы и назы­ваем такое соединение «последова­тельным» (рис. 4.5.4). Следует пояс­нить, что «последовательным» такое соединение элементов является то­лько в смысле надежности, физиче­ски они могут быть соединены как угодно.

С позиции надежности такое соединение означает, что отказ устройства, состоящего из этих элементов, происходит при отказе элемента 1, или эле­мента 2, или элемента 3, или элемента п. Условие работоспособности можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если ра­ботоспособен элемент 1, и элемент 2, и элемент 3, и элемент п.

Выразим надежность данной системы через надежности ее элементов. Пусть имеется некоторый промежуток времени (0, т), в течение которого требуется обеспечить безотказную работу системы. Тогда, если надежность системы характеризуется законом надежности P(t), нам важно знать значе­ние этой надежности при t = т, т. е. Р(х). Это не функция, а определенное число; отбросим аргумент т и обозначим надежность системы просто Р. Аналогично обозначим надежности отдельных элементов Р1, Р₂, Р₃, ..., Р_n.

Для безотказной работы простой системы в течение времени т нужно, чтобы безотказно работал каждый из ее элементов. Обозначим S— событие, состоящее в безотказной работе системы за время т; s1, s2, ^₃, ..., s_n — собы­тия, состоящие в безотказной работе соответствующих элементов. Событие £есть произведение (совмещение) событий s1, s2, ^₃, ..., s_n:

S =s1 -s₂ -S3 ■ ...-s_n.

Предположим, что элементы s1, s2, ^₃, ..., s_n отказывают независимо друг от друга (или, как говорят применительно к надежности, «независимы по отказам», а совсем кратко: «независимы»). Тогда по правилу умножения ве­роятностей для независимых событий P(S) = P(s1) P(s2) Р^₃) • ... -P(s_n) или в других обозначениях:

Р = Р₁ P2 Р₃ •... Р_п, (4.5.1)

а короче:

п

(4.5.2)

т. е. надежность (вероятность работоспособного состояния) простой систе­мы, составленной из независимых по отказам, последовательно соединен­ных элементов, равна произведению надежностей ее элементов.

В частном случае, когда все элементы обладают одинаковой надежно­стью P₁ = P₂ = P₃ = ... = P_n, выражение (4.5.2) принимает вид:

P=Pⁿ. (4.5.3)

159

Г ЛАВА 4

Пример 4.5.1. Система состоит из 10 независимых элементов, надеж­ность каждого из которых равна Р =0,95. Определить надежность системы.

По формуле (4.5.3) Р= 0,95¹⁰ ж 0,6.

Из примера видно, как резко падает надежность системы при увеличе­нии в ней числа элементов. Если число элементов n велико, то для обеспе­чения хотя бы приемлемой надежности Р системы каждый элемент должен обладать очень высокой надежностью.

Поставим вопрос: какой надежностью Р должен обладать отдельный элемент для того, чтобы система, составленная из п таких элементов, обла­дала заданной надежностью Р ?

Из формулы (4.5.3) получим:

Р=Ц[р. (4.5.4)

Пример 4.5.2. Простая система состоит из 1000 одинаково надежных, независимых элементов. Какой надежностью должен обладать каждый из них для того, чтобы надежность системы была не меньше 0,9?

По формуле (4.5.4) Р = ¹⁰⁰⁰ 0,9; lg0,9¹/¹⁰⁰⁰; Р * 0,9999.

Интенсивность отказов системы при экспоненциальном законе распре­деления времени до отказа легко определить из выражения:

Х_с =Х1+Х₂+Х3+...+Хп, (4.5.5)

т. е. как сумму интенсивностей отказов независимых элементов. Это и есте­ственно, так как для системы, в которой элементы соединены последовате­льно, отказ элемента равносилен отказу системы, значит все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов системы с интен­сивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков. Формула (4.5.4) получается из выражения:

Р = Р₁Р₂Р₃...Р_п =exp{-(A,1 +Х₂ +Х₃+...+Х_п)}. (4.5.6)

Среднее время работы до отказа:

70 =1/ Х_с. (4.5.7)

Пример 4.5.3. Простая система S

/i(0

(рис. 4.5.5) состоит из трех незави­симых элементов, плотности рас­пределения времени безотказной работы которых заданы формулами:

Рис. 4.5.5. Плотности

распределения времени

безотказной работы

/₁ () = 1,

/2 () = 2t, \ при 0 < t < 1.

/3() = 2(1-),

160

Найти интенсивность отказов системы.

Решение. Определяем ненадежность каждого элемента:

Г ЛАВА 4

	f1 ()	= 1,
	q2(t)	= /2 1 ,	\ при 0 <	t<1.
	я3 ()	= 2t-	2 ),
Отсюда	надежности элементов:
	A () =	1-t,
	Л () =	1-t2	, }> при 0	< t < 1
	Mt) =	1-2t	+2 ),

Интенсивности отказов элементов (условная плотность вероятности от­казов) — отношение f(t) к p(t):

X1(t) =1/(1-),

при 0 < ? < 1.

г

2f/(1-f2), 2(1-)/1-2?

?²),

₃( )

Складывая, имеем: Х_с = A-1 () + ^2 () + ^3 ().

Пример 4.5.4. Предположим, что для работы системы с последователь­ным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разно­типных насоса, причем насосы имеют постоянные интенсивности отказов, равные соответственно A-1 =0,0001 ч^-1 и Х₂ =0,0002 ч^-1. Требуется вычис­лить среднее время безотказной работы данной системы и вероятность ее безотказной работы в течение 100 ч. Предполагается, что оба насоса начи­нают работать в момент времени t = 0.

С помощью формулы (4.5.6) находим вероятность безотказной работы P_s заданной системы в течение 100 ч:

1

1

Р,(100) = _е-(0,0001+0,0002).100 =0,97045. Используя формулу (4.5.7), получаем:

70

l1+l₂ 0,0001 + 0,0002

3333,3 ч.

4.5.3.2. Система с параллельным соединением элементов

1

-н

-►

Рис. 4.5.6. Блок-схема системы

с параллельным соединением

элементов

На рис. 4.5.6 представлено па­раллельное соединение элементов 1, 2, 3. Это означает, что устройство, состоящее из этих элементов, пере­ходит в состояние отказа после от­каза всех элементов при условии, что все элементы системы находятся под нагрузкой, а отказы элементов статистически независимы.

161

Г ЛАВА 4

Условие работоспособности устройства можно сформулировать следую­щим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1, или элемент 2, или элемент 3, или элементы 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3, 1 и 2 и 3.

Вероятность безотказного состояния устройства, состоящего из п парал­лельно соединенных элементов определяется по теореме сложения вероят­ностей совместных случайных событий как

Р = (Р₁ +Р2+...Рп)-(Р₁Р2 +АЙ+...)-

(4.5.8) ~(Р₁Р2Р₃ + Р₁Р2Рп +...)" ...±(Р₁Р2Р₃...Рп).

Для приведенной блок-схемы (рис. 4.5.6), состоящей из трех элементов, выражение (4.5.8) можно записать:

Р = P₁ + Р2 + Р₃ ~ (Р1Р2 + Р₁Р₃ + Р2Р₃) + Р1Р2Р₃ . Применительно к проблемам надежности, по правилу умножения веро­ятностей независимых (в совокупности) событий, надежность устройства из п элементов вычисляется по формуле:

п

Р = 1 ~Ц(1 - Pi), (4.5.9)

т. е. при параллельном соединении независимых (в смысле надежности) элементов их ненадежности (1 - pi = qi) перемножаются.

В частном случае, когда надежности всех элементов одинаковы, форму­ла (4.5.9) принимает вид:

Р = 1-(1-р)^п. (4.5.10)

Пример 4.5.5. Предохранительное устройство, обеспечивающее безо­пасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Надежность каждого из них р = 0,9. Клапаны независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.

Решение. По формуле (4.5.10) Р = 1 -(1 -0,9)³ = 0,999.

Интенсивность отказов устройства состоящего из n параллельно соеди­ненных элементов, обладающих постоянной интенсивностью отказов А-0, определяется как:

(4.5.11)

Л

dQ(t)dt d(1-exp(-l₀t))ⁿ / dt лА₀(1-exp(А₀))^и"¹

P(t) 1 -(1 -exp(-А₀))^и 1 -(1 -exp(-А₀))^й

Из (4.5.11) видно, что интенсивность отказов устройства при п > 1 зави­сит от t при t = 0 она равна нулю, при увеличении t, монотонно возрастает до А-0.

Если интенсивности отказов элементов постоянны и подчинены показа­тельному закону распределения, то выражение (4.5.9) можно записать:

п

Р() = 1 ~Ц(1 -exp(-А,/)). (4.5.12)

/=1

162