Г лава 4

В (4.3.15)—(4.3.17) а и А,0 — параметры закона распределения. Параметр X₀ определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимает­ся или растягивается. При а = 1 функция распределения Вейбулла совпада­ет с экспоненциальным распределением; при а < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при а > 1 — монотонно возрастаю­щей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры а и А,0, с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными. Рас­пределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые пе­редачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне мест­ной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризу­ется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения — признаками износового отказа.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последова­тельно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Это распределение иногда используется для описания надежности под­шипников качения (а = 1,4—1,7).

Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выра­жения:

Т

Г( 1 / а + 1 )

1 о

(4.3.18)

Значения Г (гамма-функции) табулированы (приложении 2).

Нормальное распределение (рис. 4.3.3, г) случайной величины Хвозникает всякий раз, когда Хзависит от большого числа однородных по своему влия­нию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т. е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.

Плотность вероятности отказов:

/ () = гг= exp - (/- ^) / 2о , (4.3.19)

л In L J

где: Т — средняя наработка до отказа;

а — среднее квадратическое (стандартное) отклонение времени безотказной работы. Вероятность отказа время t:

0 1 t

F(t) = I f(t)dt =j== Jexp - ( t -T ) / 2a . (4.3.20)

стл/2л L J

148

Г лава 4

Значение функции распределения определяется формулой:

F{t) = 0,5 + Ф(и) = Q(t); u = (t-T)/o. (4.3.21)

Вероятность отсутствия отказа за время t

P{t) = 1 - Q{t) = 1 - [ 0,5 + Ф(«) ] = 0,5 - Ф{и). (4.3.22)

Значения F{t) табулированы (приложение 3).

График X(t) показан на рис. 4.3.3, г. Интенсивность отказов монотонно возрастает и после Г начинает приближаться к асимптоте:

у = (t - Т) I а. (4.3.23)

Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени — характерный признак нормального распределения. Нормальное распреде­ление существенно отличается от экспоненциального. Началом отсчета вре­мени t в (4.3.20) служит начало эксплуатации объекта, т. е. момент, когда начинается процесс износа и старения, а началом отсчета в (4.3.4) — момент времени, когда установлено, что изделие исправно (этот момент может быть расположен в любой точке на оси времени).

Усеченное нормальное распределение (рис. 4.3.3, д). Так как при нормаль­ном распределении случайная величина может принимать любые значения от -оо до +оо, а время безотказной работы может быть только положитель­ным, следует рассматривать усеченное нормальное распределение с плотно­стью вероятности отказов:

/ (0 = г_ ехр - ( t - Т\) /2а . (4.3.24)

ал/2я Нормирующий множитель с определяется из выражения:

и равен:

где:

с\ f{t)dt = 1

о

с=1/^(71/а)=1/ [ 0,5+Ф₀ (71/а)] ,

Т\/<5

F(Ti I а) = 1 / 2л |ехр( -х² / i) dx -

(4.3.25)

(4.3.26) (4.3.27)

табулированная (приложение 4) интегральная функция нормального рас­пределения;

Ti/a

^фо(^1 / ^а) = 1/ 2л J {-х I 2jdx — (4.3.28)

нормированная функция Лапласа.

Тогда (4.3.24) запишется следующим образом:

fit)

1

F(T_{ I а)ал/2я

ехр

( t-TA² /2а2

(4.3.29)

149

Г ЛАВА 4

Средняя наработка до отказа в усеченном распределении и параметр Т₁ неусеченного нормального распределения связаны зависимостью:

т -¹ f(t)- (_¹² / 2 2\

~ /п^=г exp\ / (4.3.30)

>l2nF(T1 / а)

При Т / а > 2, что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами, ко­эффициент с мало отличается от единицы и усеченное нормальное распреде­ление достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

Вероятность безотказной работы определяется из выражения:

P(t) =. (4.3.31)

/(Y1 /а)

Интенсивность отказов находится из:

2

exp

( )

( t- ¹ /2а²

. (4.3.32)

J2tiF((T1 -t)/6)

Распределение Рэлея (рис. 4.3.3, е) — непрерывное распределение вероят­ностей с плотностью:

р(х) = х / а² exp(-х² / 2а²) при х > 0;

р(х) = 0 при х < 0,

зависящей от масштабного параметра а > 0. Распределение имеет положите­льную асимметрию, его единственная мода находится в точке х = а. Все мо­менты распределения Рэлея конечны.

Также как и распределение Вейбулла или у-распределение, распределе­ние Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или старею­щих изделий.

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отка­зов) определяется:

f(t) = 1/ a² exp(-t² / 2a²). (4.3.33)

Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения:

P(t) =exp(-t² / 2а²). (4.3.34)

Интенсивность отказов находится из:

X(t) = 1/ а². (4.3.35)

Средняя наработка до первого отказа составит:

150

Т = д/л /2 • а. (4.3.36)