Аспекты выбора

«Слышал я об этих фокусах», - сказал мне один известный в своей маленькой республике кибернетик, когда я ему рассказывал о возможностях исследования противоречивых и неформализованных ситуаций выбора вариантов решений. И продолжал: «Мы вот лучше так делаем – берем какие-то аксиомы выбора, как у Люса и Райфы, и выводим следствия». Он напомнил мне рыбака с Балтики, который солидно курит свою трубку и которого не собьешь с пути здравого смысла разными словесными выкрутасами. Я отреагировал дипломатично, что это хороший почтенный подход, но проблема выбора имеет много граней.

Выбор вообще – важная категория. Кроме абстракций и анализа в рациональной деятельности есть еще выбор, который содержит в себе нечто большее, чем анализ. Он связан еще и с волей, и с интуицией. Спрашивается, какой выбор можно назвать аутентичным? От этой общности постановки вопроса мы теперь на время перейдем к крайнему схематизму.

Пусть А – конечное множество, его число элементов |A| = n. Рассмотрим задачу: выбрать m элементов из множества А. Что это может значить, если m > n? В этой ситуации надо специально уточнять постановку задачи. Например, в этом случае может потребоваться «размножить» множество А, делая вариации его элементов, чтобы всего получилось не менее m элементов.

Но может быть и так, что А – это просто пустое множество, когда A задается системой предикатов, причем эта система может быть либо несовместной, либо слишком жесткой. Значит, множество А может быть либо пустым, либо слишком немногочисленным. Тогда выход – в ослаблении предикатов. Это очень частный пример. А на самом деле есть множество примеров выбора в противоречивых условиях.

Многозначные конструкции, многозначные отображения, многозначная логика, вообще множественность, позволяют корректно формализовать вывод содержательно значимых следствий из противоречивой системы посылок.

В этом случае мы применяем различные обобщения понятия существования объектов, понятия решения противоречивых задач (следовательно, не обладающих решениями в обычном смысле), и главным образом, нас интересуют комитетные решения и конструкции. Это связано с весьма неортодоксальными инконсистентными логиками [1-3]. Комитетный объект, отвечающий несовместной системе высказываний, есть множество – такое, что каждому высказыванию удовлетворяет более половины его элементов.

С этим подходом связано обобщенное следование (которое связано с неклассическим выбором): из некоторого высказывания А следует высказывание В, если А и В как-то связаны, находятся в некотором отношении (скоррелированы). Вообще, кажется, что вывод больше должен быть основан на наблюдениях, чем на принципах. Фундаментализм может быть опасен, даже научный.

Связи между реальностью, языком и пониманием многослойны. Многие философы сводили жизнь к абстракциям духа. Хайдеггер вернул жизни глубинную темную содержательную составляющую, а Витгенштейн старался очистить язык от бессмысленных высказываний. Между тем эти направления связаны: мы живем в мире текстов, и мы живем в неформализуемом мире.

Текст – последовательность символов. И она может иногда передавать некоторый неформальный живой содержательный смысл – это может быть программа действий или генетическая программа или художественное произведение – правда, преемником текста должен быть соответствующим образом организованный объект. Фактически один из возможных смыслов текста А может быть текстом В – формальным или неформальным следствием: А  B. В прецедентной логике правила такого перехода формализованы, но нас интересуют и неформальные следствия. Более того, бесконечное множество текстов обладает свойством неформализуемости, но не бессмысленности.

Есть формальное, неформальное и неформализуемое. В работах [1-5] мы использовали развитый нами математический аппарат распознавания образов, математического программирования и искусственных нейронных сетей для учета неформализованных факторов в технико-экономических задачах эффективного использования ограниченных ресурсов. К неформализуемому относится ряд противоречивых критериев и неоднозначности человеческого выбора. Использованный нами инструментарий – это фактически аппарат на основе логического вывода следствий из прецедентов. В этой связи мы построили конструкции обобщенного существования объектов.

Прецедентный подход позволяет, как это вначале ни покажется странным, формализовать в некотором смысле и неформализуемое. Правда, в этом случае необходимо использовать потенциально (а часто и актуально) бесконечные системы прецедентных объектов и ситуаций и бесконечные системы признаков, расписывающих эти объекты. Допустим, мы хотим формализовать отличие «тонкой» натуры от «грубой». Нет смысла пытаться дать определение отличия одних от других. С математической точки зрения дело сводится к решению задачи дискриминантного анализа DA(A,B,F). где А и В – прецедентные множества, F – используемый класс разделяющих правил (например, дискриминантных функций).

Итак, основные необычные эффекты скрываются в свойствах бесконечных систем неравенств над бесконечномерным пространством. Уже в случае линейных неравенств проявляются их необычные, по сравнению с конечными системами, свойства. Например, в результате диагонального процесса Кантора появляются все новые примеры опровержений аналитических описаний понятий. Так что в пространстве четких признаков (пусть их число и бесконечно) понятия гуманитарных наук неуловимы при помощи формалистики.

Конечные системы линейных неравенств сыграли громадную роль в экономической теории, в термодинамике и в других сферах. Бесконечные системы еще более важны, так как позволяют анализировать более сложные задачи, аппроксимировать выпуклые проблемы и, кроме того, прикоснуться к неформализуемому. Обычно люди охотно повторяют, что они «знают, что ничего не знают». Но они не осознают, что они действительно ничего не знают о реальности. Они только могут работать со своими конструкциями – языковыми и другими. Это связано с понятием неформального.

Неформальное может быть неформализованным или даже неформализуемым. И то, и другое исследуется как в рамках математической логики, так и в сфере искусственного интеллекта. Неформальным является несобственный объект (то есть, например объект, описываемый противоречивой моделью), его существование определяется только в некотором обобщенном смысле. Неформальны противоречивые системы. Неформально то, что записано не формулами, а словами. Логика естественного поведения человека – неформальная логика. Может быть формальный анализ неформального – как, например, разбор и анализ произведений искусства. Неформальное сопровождается внешней формализацией и имитацией. Неформализуемое можно отображать косвенно, через его отношения с другими объектами. Есть своя алгебра и логика исследования неформального и противоречивого. Смысл неформального – в контекстах, где оно встречается.

В случае моделирования неформализуемого (а это тоже бывает необходимо) нужно опираться на прецеденты и писывать множества прецедентов, но в этом случае приходится в потенциально бесконечном процессе постоянно расширять и множество прецедентов, и пространство признаков (это своеобразная аналогия с теоремой Гёделя).

Некоторые факты из истории моделирования неформального: в начале 1960-х годов на семинаре СО МИАН говорилось (И.И.Ереминым и Вл.Д.Мазуровым) об учете внемодельных факторов в экономико-математическом моделировании; Вл.Д.Мазуров в 1966 году (труды Всемирного математического конгресса в Москве) обосновал метод комитетов для несовместных подсистем и методы распознавания для учета неформализованных факторов. Затем у него же исследовалась формализация неформализованных факторов в математических моделях динамики, равновесия, принятия решений. И в связи с этим обобщение понятия существования.

Н.В.Белякин (публикаций нет, но по словам Н.Н.Непейводы) делал доклады в СО РАН в конце 1970-х годов по формализации неформализуемого. Н.Н.Непейвода вернулся к формализации неформализуемого в 1998 году (формализация гуманитарного знания и соответствующие логические аксиомы) в учебнике по прикладной логике. Он ссылается на Белосельского-Белозерского, говорившего о многоуровневом знании. Далее: к этому имеют отношение Вейценбаум и Брауэр.

В 1970-х годах Н.Н.Моисеев и Ю.И.Журавлев вели в своих публикациях речь о плохо определенных задачах. Методы Журавлева: как на базе эвристических алгоритмов уже точными методами построить пространство алгоритмов решения задач и из элементов этого пространства выбирать оптимальные в различных смыслах алгоритмы.

Методы изучения неформального легче всего найти в алгебре, так как в ней можно работать с неидентифицированными объектами, для которых можно рассматривать их внешние отношения с другими объектами. Необходимость изучения неформальной логики вытекает из требований практики. Так, в теоретической социологии неформальная логика является общим методом. В этом случае в нее включают теорию аргументации, теорию дискурса и тому подобное.

Бодрийяр говорит о замене неформальных отношений формальными, мы имеем дело с симулякрами, символами – даже в экономике. Вещь в себе таковой и остается, и основную часть общества это и не волнует.

Символика позволяет работать с неидентифицированными объектами. Кузанский и Лейбниц видели в символике представление божественного мира идей, непосредственно недоступными человеческому мышлению. Кузанский и Лейбниц считали, что математика отражает в конечных символах идеи, которыми Бог обладает в Его непосредственной интуиции бесконечного. Как магический ключ математический аппарат раскрывает природные проблемы – но раскрывает их лишь в смысле символического представления.

Граница формального и неформального – письменный текст, это место, где возникает противоречие между автором и тем, что он на самом деле хотел выразить.

Поддержано РФФИ: проекты 0301 – 00241; 0401 – 96194; 0301 – 00565. 04-01-00108. Президентская программа поддержки ведущих научных школ - № НШ – 792. 2003. 1.

Литература:

1. Мазуров Вл.Д. О комитете системы выпуклых неравенств - М., 1966.

2. Мазуров Вл.Д. О методе планирования, использующем распознавание для у чета неформализованных данных // Известия АН СССР /Тех. киб. – 1973- №3.

3. Мазуров Вл.Д. Дискретные аппроксимации в противоречивых задача оптимизации и классификации: Труды Международного конгресса математиков. – Варшава, 1983.

4. Мазуров Вл.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации. – М., 1990.

5. Мазуров Вл.Д. Нелинейные модели экономики и нейронные сети // Труды Всероссийского симпозиума по экономической теории. – УрО РАН, 2003.

В.В.Марычев, г. Ставрополь